Найти класс функций, обнуляющих функционал

[otesanek]

Здравствуйте. У меня возникла следующая проблема из области вариационного вычисления.
Полный функционал моей задачи состоит из двух частей: первая часть нормальная, а вторая содержит перед собой множитель $1/b\rightarrow \infty$. Соответственно, чтобы эта вторая часть не давала расходимости нужно чтобы выполнялось условие:
$R_0(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)+\left[\frac{x}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)\bigr]+R_2(x)\bigl[\left[\frac{d}{dr}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)\bigr]=0$.
Что накладывает условия на функции $dR_0(x)/dx+dR_2(x)/dx+3R_2(x)/x=0$. Для этого случая, исходя из вида задачи, мне удалось "угадать" вид функций $R_0(x),R_2(x). При дальнейшем усложнении рассматриваемой задачи с подбором вида функций, зануляющих расходящуюся часть функционала, возникли проблемы, так как теперь нулю должно быть равно следующее выражение:
$\Bigl[R_0(x)\left[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)+\left[\frac{x}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)\right]+ R_2(x)\bigl[\left[\frac{d}{dr}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)\bigr]\Bigr]\int_{0}^{\infty}(1+Cx^2)^2(R_0(y)^2+R_2(y)^2)y^2dy+ \Bigl[R_0(x)(1+Cx^2)\bigl[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)(1+Cx^2)+\left[\frac{x}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)(1+Cx^2)\bigr]+R_2(x)(1+Cx^2)\bigl[\left[\frac{d}{dr}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)(1+Cx^2)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)(1+Cx^2)\bigr]\Bigr]\int_{0}^{\infty}(R_0(y)^2+R_2(y)^2)y^2dy=0$.

Здесь C - константа. Существуют ли какие-нибудь методы для нахождения функций $R_0(x)$ и $R_2(x)$ , не сводящиеся к их угадыванию?

[svv]

У Вас в нескольких местах $\frac{x}{dx}$, а ещё встречается $\frac{d}{dr}$. Поэтому, естественно, мысли такие: «мало того, что выражение сложное, при том, что часто и гораздо более простые дифференциальные уравнения не решаются, так ещё и заведомо неправильное; стоит ли тратить время и силы?»

[otesanek]

Спешить нужно при ловле блох, как говорится... Извиняюсь, не заметил опечаток. Правильный вид такой:
$R_0(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)+\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)\bigr]+R_2(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)\bigr]=0$.
Что накладывает условия на функции $dR_0(x)/dx+dR_2(x)/dx+3R_2(x)/x=0$. Для этого случая, исходя из вида задачи, мне удалось "угадать" вид функций $R_0(x),R_2(x). При дальнейшем усложнении рассматриваемой задачи с подбором вида функций, зануляющих расходящуюся часть функционала, возникли проблемы, так как теперь нулю должно быть равно следующее выражение:
$\Bigl[R_0(x)\left[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)+\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)\right]+ R_2(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)\bigr]\Bigr]\int_{0}^{\infty}(1+Cy^2)^2(R_0(y)^2+R_2(y)^2)y^2dy+ \Bigl[R_0(x)(1+Cx^2)\bigl[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)(1+Cx^2)+\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)(1+Cx^2)\bigr]+R_2(x)(1+Cx^2)\bigl[\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)(1+Cx^2)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)(1+Cx^2)\bigr]\Bigr]\int_{0}^{\infty}(R_0(y)^2+R_2(y)^2)y^2dy=0$.

Для C=0 вид функций $R_0(x),R_2(x)$ известен. Может быть имеет смысл искать для ненулевого С данные функции в виде произведения функций при С=0 на некоторую функцию f(x)? Дальше, как я понимаю, можно пытаться подобрать данную функцию перебором, либо попробовать применить какой-либо алгоритм ( разложить функцию f(x) в ряд по степеням x, и искать коэффициенты в данном разложении, дающие ноль исходного выражения?).

[Lia]

otesanek
Все формулы оформляйте.

[svv]

otesanek в сообщении #1208857 писал(а):

$R_0(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)+\left[\frac{d}{dx}+\frac{2}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)\bigr]+R_2(x)\bigl[\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\left[\frac{d}{dx}+\frac{3}{x}\right]R_2(x)+\left[\frac{d}{dx}-\frac{1}{x}\right]\frac{d}{dx}R_0(x)\bigr]=0$.
Что накладывает условия на функции $dR_0(x)/dx+dR_2(x)/dx+3R_2(x)/x=0$.

А как Вы получили второе, более простое условие? Вроде, из первого оно не следует (и наоборот тоже).