Целые решения уравненния (x^3+y^3)/(z^3+w^3)=N

[scwec]

Докажите, что для любого целого $N$ уравнение $\dfrac{x^3+y^3}{z^3+w^3}=N$ имеет целочисленные решения $x,y,z,w$.

[Andrey A]

После подстановок $x\rightarrow X+Y;\ y\rightarrow X-Y;\ z\rightarrow Z+W;\ w\rightarrow Z-W$ получаем $\dfrac{X(X^2+3Y^2)}{Z(Z^2+3W^2)}=N.$ Сделаем еще одну подстановку: $X\rightarrow ac+3bd;\ Y\rightarrow ad-bc;\ Z\rightarrow ac-3bd;\ W\rightarrow ad+bc$, тогда $\dfrac{ac+3bd}{ac-3bd}=N$ или

$$\dfrac{N+1}{N-1}=\dfrac{ac}{3bd}\ .$$

При любом $N$ (не только целом, но и рациональном) нужные $a,b,c,d$ находятся без труда. Соответственно

$$x=ac+3bd+ad-bc;\ y=ac+3bd-ad+bc;\ z=ac-3bd+ad+bc;\ w=ac-3bd-ad-bc.$$

Для $N=11$, к примеру, $\dfrac{11+1}{11-1}=\dfrac{6}{5}=\dfrac{18}{15}=\dfrac{6\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 1}.$ $a=6;b=5;c=3;d=1.$ Отсюда $x=24;y=42;z=24;w=-18.$ Сокращая на $6$, получаем

$$\dfrac{4^3+7^3}{4^3-3^3}=11.$$

[Andrey A]

P.S.
Для особых случаев $N=0,\pm 1$ достаточно примеров $\dfrac{(\pm B)^3+(\pm C)^3}{B^3+C^3}=\pm 1, \dfrac{A^3+(-A)^3}{B^3+C^3}=0$ или $\dfrac{(\pm 12)^3+(\pm 1)^3}{10^3+9^3}=\pm 1$.

[scwec]

Вот одно из 2-параметрических решений исходного уравнения:
$x=n(2Nm^3-n^3)$,
$y=n(Nm^3+n^3)$,
$z=-m(Nm^3-2n^3)$,
$w=m(Nm^3+n^3)$,
которое получается из решения системы уравнений
$x^3+n^3-Ny^3-Nm^3=0$
$yNm^2-xn^2+Nm^3-n^3=0$.
где первое уравнение - уравнение кривой, соответствующей исходному уравнению, второе - уравнение касательной к этой кривой в точке $x=-n, y=-m$.
Таких параметрических решений бесконечное число.
Для $N=1$ приведу примеры $\dfrac{(-10)^3+1^3}{(-12)^3+9^3}=\dfrac{944^3+37^3}{930^3+333^3}=1$ и т.д.

[Andrey A]

scwec, Ваш вопрос касался разрешимости предложенного уравнения. А общее решение, я думал, должно учитывать делимость $N$ на простые вида $6k+1$.

[scwec]

Andrey A. Ваше решение интересное и меня вполне устраивает.
Предложенное мной решение не является общим, да такая задача и не ставилась. Только бесконечная совокупность всех параметрических решений дает полное решение.
Понятно, что если идти Вашим путем, любое $N$ можно представить в нужном виде. Но здесь мы упираемся в проблему факторизации больших $N-1,N+1$ (если, конечно, хотим конкретно вычислить $x,y,z,w$).
Эта проблема отсутствует в параметрическом подходе.
Еще раз повторю, решение Ваше мне понравилось.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1208666 писал(а):

... упираемся в проблему факторизации больших $N-1,N+1$

Это да. Имелось в виду, что для доказательства довольно самого факта существования целых $a,b,c,d$. Потому и без труда (: Если же говорить о практическом использовании, то вместо $a,b,c,d$ можно брать $ak_1,bk_2,ck_2,dk_1$, где $k_1,k_2$ - пара свободных переменных. И для каждого варианта множителей $a_i,b_i,c_i,d_i$ получаем бесконечную серию решений. С остальным более-менее ясно. Спасибо.