Размерности.

[Videns]

$f(\vec{r})=[1]$ - безразмерная сферически симметричная функция.

$\Delta f(\vec{r})=\frac{\partial^2 f}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial f}{\partial r}=[\frac{1}{r^2}]$

$(\nabla f(\vec {r}))^2=r^2(\frac{\partial f}{\partial r})^2=[1]$

$\frac{1}{2}\Delta f^2(\vec{r})=\nabla( f \nabla f)=(\nabla f)^2+f \Delta f=[1] + [\frac{1}{r^2}]$

Где ошибка?

[svv]

Вот тут:

Videns в сообщении #1208142 писал(а):

$(\nabla f(\vec {r}))^2=r^2(\frac{\partial f}{\partial r})^2=[1]$

Градиент в сферических координатах — это $\mathbf e_r\frac{\partial f}{\partial r}$ плюс слагаемые с производными по угловым координатам. Множителя $r$ нет.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Вообще говоря, скобки ставятся вокруг величины, чтобы получить её размерность, а не вокруг размерности (и что, она превратится в величину с нужным значением? как они угадают?). Конечно, можно использовать их вот так символически, и последние знаки $=$ тоже символически (как в записи $f = O(g)$), но…

[Videns]

Точно, спасибо!
В памяти пробел, смотрю в Википедии, а там единичный вектор по своему как-то обозначают..

(Оффтоп)

Замечание безусловно верное, но и так понятно, а выглядит лучше)

[svv]

А, вот откуда лишнее $r$. Да, шляпка в англоязычной литературе часто означает нормированный вектор. И если, например, вектор $\mathbf p$ уже определён, символ $\hat{\mathbf p}$, обозначающий $\frac{\mathbf p}{|\mathbf p|}$, используется без пояснений.