Пескин и Шредер: коммутационные соотношения для фермионов

[Ascold]

В том разделе, где они доказывают противоречивость коммутационных соотношений и необходимость их замены на антикоммутационные, мне раньше казалось, что всё ясно, а теперь сомневаюсь: что значит под формулой (3.90) фраза "действуя оператором $b^+$, можем создавать всё новые и новые частицы, уменьшая тем самым энергию до бесконечности".
Ясно, что $b^+$ - оператор рождения. Ясно, что $b^+b$ и $a^+a$ - это операторы числа частиц, а знак минус позволяет сделать энергию сколь угодно отрицательной, если $N_b>N_a$.
Никаких частиц пока что нет, на этом этапе поле не ещё проквантовано, а действие на вакуум повышающим оператором возникает всё-таки не по произвольному желанию, а в связи с уравнениями в конкретной ситуации.
Что позволяет нам думать в полевом подходе, что оператором $b^+$ можно вот так вот взять и сколь угодно много раз отвлечённо на что-то подействовать?

[Munin]

Я эту фразу понимаю так:
1) При помощи оператора $b^+$ мы можем построить пространство состояний, по крайней мере, его часть. Это мы заведомо имеем право делать, поскольку $(b^+)^n$ ни в какой степени не обнуляется.
2) Дальше, рассматривая это пространство состояний, мы видим, что оно по энергии не ограничено снизу. Физически это будет означать, что взяв начальное состояние, например, вакуум, мы получим эволюцию в виде "спонтанно рождается частица + ещё что-то, и выделяется энергия; повторить $\infty$ число раз". Нехорошо.

Может быть, п. 2 и будет здесь "забеганием вперёд", но в общем законным: мы знаем, какого типа квантовая теория строится на основании больцмановских и бозонных операторов рождения.

Ascold в сообщении #1206138 писал(а):

а действие на вакуум повышающим оператором возникает всё-таки не по произвольному желанию, а в связи с уравнениями в конкретной ситуации.

Всё-таки по произвольному желанию. Квантовая теория построена по принципу "разрешено всё, что не запрещено". Запреты - это законы сохранения. Но для любого данного состояния есть набор других состояний, не запрещённых по законам сохранения, и переходы во всех в них будут иметь какую-то ненулевую амплитуду.

Этого не произносят в явном виде в учебниках, но по сути, это так.

Наиболее похожие слова произносятся во время неформального введения в фейнмановские интегралы по траекториям (см. популярную КЭД: странная теория света и вещества, учебник Квантовая электродинамика, и Фейнмана-Хибса).

[Ascold]

Благодарю. А ещё, я думаю, надо бы вывести (3.91). Я стартанул для этого из связи между представлениями $a_S|\phi_S\rangle=a_H|\phi_H\rangle,$ $|\phi_H\rangle=e^{iHt}|\phi_S\rangle,$ $a_H=e^{iHt}a_Se^{-iHt},$
у меня получилось

$$e^{iHt}a_Se^{-iHt}e^{iHt}|\phi_S\rangle =a_S|\phi_S\rangle,$$

значит,

$$e^{iHt}a_S|\phi_S\rangle =a_S|\phi_S\rangle,$$

откуда для операторов получаю соотношение

$$e^{iHt}a_S =a_S,$$

которое можно применить к состоянию $e^{-iHt}|\phi_S\rangle$ и получить в результате первую формулу из (3.91)

$$e^{iHt}a_Se^{-iHt} =e^{-iEt}a_S.$$

Однако для оператора $b(p)$ получится такое же соотношение, тогда как должно быть отличие в знаке правой экспоненты.
У Тонга я про эти же формулы вычитал, что "для их вывода требуется применить коммутационные соотношения операторов $a$, $b$ с гамильтонианом", это бы, наверное, объяснило этот минус, ведь $a$ и $b$ входят в гамильтониан несимметричным образом. У меня в связи с этим два вопроса:
1. По-видимому, равенство $e^{iHt}a_S =a_S,$ для состояния $e^{-iHt}|\phi_S\rangle$ применять вот так просто нельзя. почему?
2. Вероятно, после $e^{iHt}a_S|\phi_S\rangle =a_S|\phi_S\rangle$ следует прокоммутировать экспоненту гамильтониана с $a$. Как это сделать - коммутатор $[H,a]=-Ea$ считается легко, а вот $[H^n,a]$ пугает своим видом. Или я чего-то не вижу?

[warlock66613]

Ascold в сообщении #1206360 писал(а):

$a_S|\phi_S\rangle=a_H|\phi_H\rangle$

Это откуда такая формула подозрительная?

[Ascold]

Цитата:

Это откуда такая формула подозрительная?

вообще-то да, это я фигню написал, по-видимому.
С чего тогда стартовать - ну, напишу я, к примеру, что

$$a_H=e^{iHt}a_Se^{-iHt},$$

а дальше как от операторов переходить к их собственным значениям? В любом случае потребуется подействовать на состояние, тогда будет

$$a_H|\phi_H\rangle=e^{iHt}a_Se^{-iHt}|\phi_H\rangle$$

или

$$a_S|\phi_S\rangle=e^{-iHt}a_He^{iHt}|\phi_S\rangle$$

.
Что следует сделать дальше?

[amon]

Ascold в сообщении #1206446 писал(а):

а дальше как от операторов переходить к их собственным значениям?

К собственным значениям чего? Если операторов $a$ и $a^+,$ то это величины бессмысленные, поскольку эти операторы не самосопряженные, и ни какой физической величине не соответствующие. Собственным значением оператора $a$ является любое комплексное число, а оператор $a^+$ собственных значений не имеет (это в случае бозонов, для фермионов и того хуже). Так что надо определиться что же мы пытаемся найти.

[warlock66613]

Ascold в сообщении #1206446 писал(а):

вообще-то да, это я фигню написал, по-видимому

Ага. На всякий случай: правильное соотношение между картинами - равенство матричных элементов $\langle\psi_H | A_H | \varphi_H \rangle = \langle \psi_S | A_S | \varphi_S \rangle$.

[Ascold]

Цитата:

К собственным значениям чего? Если операторов $a$ и $a^+,$

Конечно же нет: я думаю, как доказать формулу $e^{iHt}ae^{-iHt}=ae^{-iEt},$ где $H|\phi\rangle=E|\phi\rangle$ в представлении Шрёдингера.
По-видимому, здесь вовсе не надо переходить между представлениям, а надо вычислить коммутатор $[e^{iHt},a]$ и вычислить
$e^{iHt}ae^{-iHt}=(ae^{iHt}+[e^{iHt},a])e^{-iHt},$ авось искомая формула и выплывет. В общем виде найти этот коммутатор пока не удалось, легко видеть, что $[H,a]=-Ea,$ сейчас ищу $[H^2,a]$, затем попробую на глаз или по индукции вывести $[H^n,a]$ и коммутатор от экспоненты.

[Pphantom]

Ascold, пожалуйста, указывайте авторов цитат. Проще всего сделать это, выделив нужный фрагмент цитируемого сообщения и нажав кнопку "Вставка" в нижней части сообщения.

[amon]

Ascold в сообщении #1206561 писал(а):

Конечно же нет: я думаю, как доказать формулу $e^{iHt}ae^{-iHt}=ae^{-iEt}$... сейчас ищу $[H^2,a]$

IMHO, что-то Вы не то ищите. $e^XYe^{-X}=Y+[X,Y]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\dots$

[Ascold]

amon в сообщении #1206583 писал(а):

что-то Вы не то ищите. $e^XYe^{-X}=Y+[X,Y]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\dots$

Благодарю за формулу, теперь искомое соотношение получилось легко.
Кстати, где можно почитать её доказательство? Первые два слагаемых видны легко, третье получается с трудом, а дальше уже страшно группировать.

[amon]

Ascold в сообщении #1206600 писал(а):

где можно почитать её доказательство?

Да хоть в википедии. Я смотрю, там за математической частью неплохо присматривают.