О некоторых свойствах дельта-функции

[Padawan]

Metford
Попробуйте вместо $\delta(x)$ рассматривать $\delta_\varepsilon (x)$ -- некоторую "почти" дельта-функцию: неотрицательную, равную нулю вне интервала $(-\varepsilon, \varepsilon)$ и с интегралом, равным единице. Если те функции, которые Вы пишите при $\varepsilon\to 0$ стремятся к тому, чему Вы хотите, то все ОК. Если перемножается несколько дельта-функций, то эпсилон у каждой своя.

-- Пн апр 03, 2017 19:51:03 --

Munin в сообщении #1206191 писал(а):

Metford в сообщении #1206164 писал(а):

Объёмная плотность заряда тонкого эллиптического кольца

$$\rho=\lambda\delta\left(r-\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^2\cos^2\varphi}}\right).$$

А вот это, кстати, плохо.

С эллипсом надо аккуратнее, на него можно нанести разную плотность. Та, которую вы привели, - наиболее странная. На пальцах, она присваивает одинаковые заряды одним и тем же угловым участкам $d\varphi.$

Объясните, пожалуйста, почему Вы так считаете. Мне тоже кажется, что такая плотность мера не пропорциональна длине дуги, но и $d\varphi$ тоже непонятно.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1206191 писал(а):

На пальцах, она присваивает одинаковые заряды одним и тем же угловым участкам $d\varphi.$

Не совсем. Поскольку элемент площади $rdr d\varphi$, то "плотность" относительно угла будет пропорциональна $r$.

-- 03.04.2017, 09:21 --

Padawan в сообщении #1206199 писал(а):

Попробуйте вместо дельта рассматривать -- некоторую "почти" дельта-функцию:

Правильно, чтоб ТС служба мёдом не казалась и задача посложней была.

[Metford]

Munin в сообщении #1206191 писал(а):

Можно "покрасить" эллипс равномерной линейной плотностью. Но это ещё неестественней.

Наиболее естественными плотностями на эллипсе будут те, которые получаются из плотностей, скажем, эллиптического кольца, с шириной, стремящейся к нулю. (Внутри кольца плотность равномерная.) Тут можно взять два варианта: либо софокусные эллипсы, либо подобные эллипсы. В одном случае, заряд будет больше на "боках", в другом - на "остриях".

Ну, я ведь не говорю о том, что естественнее. Могу я поставить формальную задачу о записи объёмной плотности заряда для равномерно заряженного эллипса?

Red_Herring в сообщении #1206193 писал(а):

А у эллипса надо домножать первоначальную плотность на $ds/rd\varphi
$, где $ds$ элемент длины эллипса, параметризованного углом.

Так. Вот этого пока не осмыслил... Хотя нет. Это чтобы на каждую элементарную дугу одинаковый заряд приходился.

Padawan в сообщении #1206199 писал(а):

Попробуйте вместо $\delta(x)$ рассматривать $\delta_\varepsilon (x)$ -- некоторую "почти" дельта-функцию: неотрицательную, равную нулю вне интервала $(-\varepsilon, \varepsilon)$ и с интегралом, равным единице.

А вроде бы я Вам ничего плохого не делал... Уж очень громоздко будет.

[Munin]

Вот я чувствовал, что надо посчитать потщательнее.

-- 03.04.2017 18:18:09 --

Metford в сообщении #1206245 писал(а):

Могу я поставить формальную задачу о записи объёмной плотности заряда для равномерно заряженного эллипса?

Можете, но сначала вам надо определиться для себя, что такое равномерно заряженный эллипс?

[Padawan]

Metford в сообщении #1206245 писал(а):

А вроде бы я Вам ничего плохого не делал... Уж очень громоздко будет.

Совсем нет. Расставляете пределы в полярных координатах. Вроде все сворачивается.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1206252 писал(а):

Можете, но сначала вам надо определиться для себя, что такое равномерно заряженный эллипс?

Вероятно, имеется в виду, что линейная плотность постоянна (т.е. имеется равномерно заряженная диэлектрическая проволока в форме эллипса). Но это уже дело ТС.

[Munin]

Отдельная забавная под-задача: как распределится заряд на проводящем эллипсе? То есть, сила, действующая на каждый заряд должна быть перпендикулярна эллипсу. Закон силы 2-мерный или 3-мерный (боюсь, тут решение будет некрасиво, но можно найти красоту на эллипсоиде).

[Padawan]

заряд на участке $\varphi\in [\alpha,\beta]$
$\int\limits_\alpha^\beta d\varphi \int\limits_0^{+\infty} \delta_\varepsilon(r-r(\varphi)) r dr\to \int\limits_\alpha^\beta r(\varphi) d\varphi$ при $\varepsilon\to 0$

[Metford]

Red_Herring в сообщении #1206267 писал(а):

Вероятно, имеется в виду, что линейная плотность постоянна

Именно. Я где-то выше об этом говорил. Сейчас посчитаю с учётом Вашего уточнения - посмотрю, что получится.

Munin в сообщении #1206272 писал(а):

Отдельная забавная под-задача: как распределится заряд на проводящем эллипсе?

Любопытно. Не помню, чтобы мне встречалась такая задача.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1206272 писал(а):

Отдельная забавная под-задача: как распределится заряд на проводящем эллипсе? То есть, сила, действующая на каждый заряд должна быть перпендикулярна эллипсу. Закон силы 2-мерный или 3-мерный (боюсь, тут решение будет некрасиво, но можно найти красоту на эллипсоиде).

Об этом я уже упоминал, но опять-таки тот же вопрос: идет ли речь о проволочном эллипсе, или бесконечно тонком и очень узком вырезанном из металла (тогда играет роль, будет ли он между двух подобных, или двух софокусных, или .... )

Если речь идет о проволочном эллипсе постоянной толщины, $ \varepsilon\to 0$ , то линейная плотность заряда будет постоянной с точностью до $o(1)$. Дело в том, что такой пруток будет иметь энергию

$$\frac{1}{2}\ln \varepsilon \int \rho^2\, ds + O(1)$$

Эта задача родственна задаче о распределении заряда в тонком прутке (на концах плотность выше но м.б. раза в 2).

-- 03.04.2017, 11:14 --

Metford в сообщении #1206277 писал(а):

посмотрю, что получится

$ds/d\varphi =\sqrt{r^2 + (dr/d\varphi)^2}$

[amon]

Munin в сообщении #1206272 писал(а):

Отдельная забавная под-задача: как распределится заряд на проводящем эллипсе?

Могу, как всегда, соврать, но по-моему, задача сводится к конформному отображению окружности на эллипс.

[Metford]

Red_Herring в сообщении #1206279 писал(а):

$ds/d\varphi =\sqrt{r^2 + (dr/d\varphi)^2}$

За это, конечно, спасибо, но эту формулу я знаю Я имел в виду весь расчёт до конца. Я его сейчас доделал - получилось всё, как нужно. Спасибо большое, Red_Herring! Долго бы искал свою ошибку.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1206284 писал(а):

Могу, как всегда, соврать, но по-моему, задача сводится к конформному отображению окружности круга на эллипс (внутренность).

Это было бы так, если бы задача была двумерной, но она трехмерная. См мою добавку выше о "почти" равномерном заряде.

[Metford]

amon в сообщении #1206284 писал(а):

Могу, как всегда, соврать, но по-моему, задача сводится к конформному отображению окружности на эллипс.

Точно, да. В двумерном случае - т.е. для эллиптического цилиндра получится. По-моему там отображение Жуковского используется. Будет

$$\sigma=\frac{\lambda}{2\pi\sqrt{a^2\sin^2\varphi+b^2\cos^2\varphi}}.$$

Уж без дельта-функции пишу.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1206279 писал(а):

Об этом я уже упоминал, но опять-таки тот же вопрос: идет ли речь о проволочном эллипсе, или бесконечно тонком и очень узком вырезанном из металла (тогда играет роль, будет ли он между двух подобных, или двух софокусных, или .... )

Э нет, а вот тут как раз без разницы :-)