Множества

[Oleksii Kulish]

Рассмотрим множество S содержащее больше 4 элементов. При эом все элементы являються натуральными числами.
Назовем множество скучным если существует хотя бы 4 разных элемента множества для которых выполняется неравенство
$a+b=c+d$
К примеру $(2,4,6,8,10)$ скучное так как $4+8=2+10$. Также $(1,5,10,25,50)$ нескучное множество.
Докажите что при количестве элементов множества больше 4, нескучное множество должно содержать элемент который больше либо равен $\frac{m^2-m}{4}$



Сначала попробовал решить через метод мат индукции, но вот в третьем шаге доказать что каждый новый член множества должен быть больше $\frac{n}{2}$ не получается.
Также попробовал выписать правило построения данного множетва, но то же что то завис. Понятно что 4 подряд числа быть не может, если берем 3 числа подряд то потом сначала каждое третее выбираем потом еще реже нужно будет. Через остатки может нужно? но токда как отслеживать что они могут по целым частям различаться?
Есть у кого нибудь какие идеи как подступиться?

[iou]

$S=\left\lbrace a_1, a_2, .., a_{m-1}, a_m\right\rbrace$.
Всего сумм ${m \choose 2}$.
Предположим, что $a_i < \dfrac{m(m-1)}{4}$ $\forall a_i \in S$, тогда $a_i+a_j<\dfrac{m(m-1)}{2}$.
Откуда по принципу Дирихле какие-то две суммы совпадут, противоречие.

[Oleksii Kulish]

iou в сообщении #1205816 писал(а):

$S=\left\lbrace a_1, a_2, .., a_{m-1}, a_m\right\rbrace$.
Всего сумм ${m \choose 2}$.
Предположим, что $a_i < \dfrac{m(m-1)}{4}$ $\forall a_i \in S$, тогда $a_i+a_j<\dfrac{m(m-1)}{2}$.
Откуда по принципу Дирихле какие-то две суммы совпадут, противоречие.

Очень элегантное решение. Спасибо огромное.