Двойственность Пуанкаре-Лефшеца и Пуанкаре-Лефшеца-Александе

[kp9r4d]

Напомню формулировки.

Двойственность Пуанкаре-Лефшеца:

Цитата:

Пусть $M$ - компактное многообразие с краем такое, что $\operatorname{dim} M = n$ тогда выполняется $H^i(M, \partial M) = H_{n-i} (M)$ и $H_i (M, \partial M) = H^{n-i} (M)$.

Двойственность Пуанкаре-Лефшеца-Александера:

Цитата:

Пусть $M$ - компактное многообразие такое, что $\operatorname{dim} M = n$ и $B \subset A \subset M$ - его замкнутые подмножества. Тогда выполняется $H^i(M-B,M-A) = H_{n-i}(A,B)$

И вот говорят, что как-то не очень большими усилиями можно вывести из двойственности Пуанкаре-Лефшеца-Александера двойственность Пуанкаре-Лефшеца, но у меня не выходит что-то совсем. Дубль на MSE.

[alcoholist]

разве не подходит $B=\emptyset$ и $M\setminus A$ -- воротник границы?

[kp9r4d]

Двойственность А-П-Л сформулирована только для многообразий без края, поэтому так просто не выйдет.

[Geros]

1) там нужна некоторая ориентируемость многообразий

2) двойственность Александера верна и для некомпактных многообразий с краем. Нужно только, чтобы $A$ и $B$ были компактны и лежали в $M - \partial M$.
В этом случае двойственность Лефшеца (тут уже для компактных) выводится отсюда так, как указано выше.

3) Ну, в принципе, можно, наверное, и из приведённой формулировки что-то вывести. Например: $M$ - компактное с краем, $\tilde{M}$ - склейка двух копий $M$ по общему краю (тождеств. на краю). Пусть копии - $M_1$, $M_2$. Тогда возьмём $A = M_2$, $B=\partial M$. Тогда: $H_{n-i} (M, \partial M) = H^i (\tilde{M} - \partial M, \tilde{M} - M_2) = H^i (M \sqcup M, M) = H^i (M)$. Как-то так, например...

[kp9r4d]

Geros
Хитро придумано, спасибо!