Гармонические колебания

[Joe Black]

Замкнутый цилиндрический сосуд с площадью основания $S$ разделён массивным поршнем массой $ М$, который может свободно перемещаться в горизонтальном направлении. В одной части сосуда содержится $\nu_1$ молей идеального газа, в другой $\nu_2$ молей при постоянной температуре $T$. Каков период малых колебаний поршня?

Пусть слева газ с $\nu_1$, с $\nu_2$ справа. Пусть поршень сместился вправо на $x$. Ось $Ox$ направлена горизонтально, тогда второй закон ньютона в проекции на ось $Ox$ имеет вид:

$$F_{p1}-F_{p2}=Ma$$

$$F_{p1}=p_1S,F_{p2}=p_2S$$

, где $p_1=\dfrac{\nu_1 RT}{V_{01}+Sx},p_2=\dfrac{\nu_2 RT}{V_{02}-Sx}$, $V_{01},V_{02}$ - равновесные объёмы.
Условие равновесия:

$$p_{01}S=p_{02}S \Rightarrow \dfrac{\nu_1RT}{V_{01}}=\dfrac{\nu_2RT}{V_{02}} \Rightarrow \dfrac{\nu_1}{\nu_2}=\dfrac{V_{01}}{V_{02}} $$

После подстановки:

$$\dfrac{\nu_1 RTS}{V_{01}+Sx}-\dfrac{\nu_2 RTS}{V_{02}-Sx}=Ma$$

Привожу дроби к общему знаменателю, выкидываю слагаемое с $x^2$ в силу его малости, но не могу избавиться от объёмов, что я делаю не так?

[Metford]

Есть ещё уравнение изотермического процесса - которое закон Бойля-Мариотта.

[Mihr]

Joe Black, в общем знаменателе можно вообще выбросить все слагаемые, содержащие $x$ - хоть в первой степени, хоть во второй, - оставив лишь постоянное слагаемое - произведение равновесных объёмов. Чтобы убедиться в правомерности таких действий, достаточно разложить полученную Вами функцию по степеням $x$... дальше, я думаю, всё станет ясно.

[DimaM]

Joe Black в сообщении #1203768 писал(а):

Привожу дроби к общему знаменателю, выкидываю слагаемое с $x^2$ в силу его малости, но не могу избавиться от объёмов, что я делаю не так?

Похоже, в условии чего-то забыли дать (например, равновесное давление).
Очевидно, что возвращающая сила будет уменьшаться при увеличении объемов.

[realeugene]

Тут не хватает суммарного объёма сосудов и показателей адиабаты газов.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1203866 писал(а):

показателей адиабаты газов

По условию колебания изотермические, так что показатель адиабаты не нужен.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1203872 писал(а):

По условию колебания изотермические, так что показатель адиабаты не нужен.

"Содержится при постоянной температуре" не обязательно означает "колебания изотермические". Впрочем, вы правильно заметили, это может также означать, что колебания изотермические. И объёма не хватает в любом случае, так как жёсткость этой "газовой пружины" в любом случае обратно пропорциональна квадрату этого объёма.