функан

[infantier]

Помогите, пожалуйста, решить задачу срочно.
Пусть

$$\sum |c_k|k < \infty$$

, где

$$c_k= \int_0^{2\pi} f(x)e^{ikx} dx$$

. Какому функцианальному пространству принадлежит функция $f$ и какая норма в этом пространстве?

[Brukvalub]

Примените теорему о связи между гладкостью функции и скоростью убывания ее коэф-тов Фурье.

infantier писал(а):

какая норма в этом пространстве?

Это известно только небесам и Вашему преподавателю.

[zoo]

infantier писал(а):

Помогите, пожалуйста, решить задачу срочно.
Пусть

$$\sum |c_k|k < \infty$$

, где

$$c_k= \int_0^{2\pi} f(x)e^{ikx} dx$$

. Какому функцианальному пространству принадлежит функция $f$ и какая норма в этом пространстве?

можно расмотреть банахово пространство с нормой $\|f\|=\sum |c_k||k|$ Думаю, что модуль у k разумней поставить

[infantier]

Имеется ввиду: найти и обосновать, какому функцианальному пространству (указать норму) соответствует сходимость указанного ряда? Ряд:

$$\sum |c_k|k < \infty$$

Коэффициенты:

$$c_k= \int_0^{2\pi} f(x)e^{ikx} dx$$

[zoo]

infantier писал(а):

Имеется ввиду: найти и обосновать, какому функцианальному пространству (указать норму) соответствует сходимость указанного ряда? Ряд:

$$\sum |c_k|k < \infty$$

Коэффициенты:

$$c_k= \int_0^{2\pi} f(x)e^{ikx} dx$$

а я Вам сказал какому, и указал норму, в терминах банаховых пространств входящих в стандартные курсы это банахово пространство не описывается. Если, конечно Вы не переврали условие и там не
$\sum |c_k|^2k^2 < \infty$

[infantier]

Все равно я не понимаю.Что ещё за произвольное банахово пространство, где определены интегралы, функции и т.д.. Наверное пространство должно быть каким-то функцианальным: соболева, $L2$, или ещё что-то?

[zoo]

infantier писал(а):

Все равно я не понимаю.Что ещё за произвольное банахово пространство, где определены интегралы, функции и т.д.. Наверное пространство должно быть каким-то функцианальным: соболева, $L2$, или ещё что-то?

пространство с нормой которую я указал не произвольное, это подпростнранство в $C^1(S^1)$, но
сказать, что это пространство совпадает с каким-то пространством Соболева или еще каким-нибудь пространством из учебника нельзя.

[Echo-Off]

Наверно, тут имеется в виду что-то такое:

Пусть $a_n = \int\limits_0^{2\pi} f(x)e^{inx}\,dx$. Тогда:
1) $\sum |a_n|^2 < \infty \Leftrightarrow f\in L_2[-\pi;\;\pi]$
2) $\sum n^2|a_n|^2 < \infty \Leftrightarrow f\in H^1(-\pi;\;\pi)$
3) $\sum n|a_n| < \infty \Leftrightarrow f\in\ ?$

[zoo]

Echo-Off писал(а):

Наверно, тут имеется в виду что-то такое:

наверное

Echo-Off писал(а):

Пусть $a_n = \int\limits_0^{2\pi} f(x)e^{inx}\,dx$. Тогда:
1) $\sum |a_n|^2 < \infty \Leftrightarrow f\in L_2[-\pi;\;\pi]$
2) $\sum n^2|a_n|^2 < \infty \Leftrightarrow f\in H^1(-\pi;\;\pi)$
3) $\sum n|a_n| < \infty \Leftrightarrow f\in\ ?$

только утверждение пункта 2) неверно, а вместо вопроса из пункта 3) Вы никакое пространство Соболева не поставите