Пустое множество является подмножеством любого множества.

[Riurik]

Определение.
Множество $A$ является подмножеством множества $B$, если каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$.

Если множество $A$ не является подмножеством множества $B$, то верно следующее утверждение: "существует элемент $x$, такой, что $x$ является элементом $A$ и не является элементом $B$". Но если $A$ пусто, то не существует такого $x$, что принадлежит $A$, и высказанное только что утверждение ложно.

По моему это совсем не доказательство. Ведь похожие суждения можно проделать и с тем условием, что $A$ является подмножеством множества $B$.

Например. Если множество $A$ является подмножеством множества $B$, то верно следующее утверждение: "каждый элемент $x$, являющийся элементом множества $A$, является элементом множества $B$". Но если $A$ пусто, то не существует такого $x$, что принадлежит $A$, и высказанное только что утверждение ложно.

Это Рудин ошибается, или все же ошибаюсь я? По-моему мои суждения не содержат в себе ошибок.

[Otta]

Riurik в сообщении #1201373 писал(а):

Если множество $A$ является подмножеством множества $B$, то верно следующее утверждение: "каждый элемент $x$, являющийся элементом множества $A$, является элементом множества $B$". Но если $A$ пусто, то не существует такого $x$, что принадлежит $A$, и высказанное только что утверждение ложно.

И? Дальше-то, дальше что? Ну не существует. А рассуждение касается только элементов множества $A$.

[Riurik]

Otta в сообщении #1201377 писал(а):

Дальше-то, дальше что?

Противоречие в этих двух суждениях, вот что. Обычно в таких случаях (например, как в случае, когда множество является элементом самого себя) пытаются избавиться от понятий, которые приводят к таким противоречиям.

[mihaild]

И где противоречие?
Сравните: "каждый $x$, являющийся элементом $A$, такой, что ..." и "существует $x$, являющийся элементом $A$, такой, что ...".
То, что не существует элементов, принадлежащих $A$, никак не отменяет того, что всё, что каким-то образом оказалось принадлежащим $A$, принадлежит и $B$ (а еще является четным числом, нечетным числом и невидимым розовым единорогом, причем всё сразу).

[Riurik]

mihaild в сообщении #1201379 писал(а):

То, что не существует элементов, принадлежащих $A$, никак не отменяет того, что всё, что каким-то образом оказалось принадлежащим $A$, принадлежит и $B$

Просто это все определение $A\subset B$. Если элементы $A$ не принадлежат множеству $B$, то $A\nsubseteq B$.

[Aether]

Riurik в сообщении #1201373 писал(а):

Если множество $A$ не является подмножеством множества $B$, то верно следующее утверждение: "существует элемент $x$, такой, что $x$ является элементом $A$ и не является элементом $B$". Но если $A$ пусто, то не существует такого $x$, что принадлежит $A$.

Мне кажется формулировку действительно следует изменить: Для того, чтобы множество $A$ не являлось подмножеством множества $B$, достаточно чтобы: "существовал элемент $x$, такой, что $x$ является элементом $A$ и не является элементом $B$".
Такая формулировка не исключает непринадлежности $A$ к $B$ и без достаточных условий, как в случае с пустым множеством. В этом случае мы говорим не об определении непринадлежности, а о достаточных, но не необходимых условиях. Можно дать и определение, явно включив в него случай с пустым множеством: Непустое множество $A$ не является подмножеством множества $B$, если: "существует элемент $x$, такой, что $x$ является элементом $A$ и не является элементом $B$".

Но как по мне - я бы признал справедливым заглавие темы.

[Riurik]

Aether в сообщении #1201383 писал(а):

Но как по мне - я бы признал справедливым заглавие темы.

А вот как по мне, так кажется, что доказывать, что пустое множество является подмножеством всех множеств не имеет смысла. Это аксиома и все. Из определения не выводится.

[mihaild]

Riurik в сообщении #1201382 писал(а):

Если элементы $A$ не принадлежат множеству $B$, то $A\nsubseteq B$.

Если хотя бы один элемент $A$ не принадлежит $B$. Но если $A$ пусто, то нет ни одного элемента $A$, не принадлежащего $B$.

"каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$" - это просто сокращение для "для любого $x$, если $x$ принадлежит $A$, то $x$ принадлежит $B$". Формулой: $\forall x: x \in A \rightarrow x \in B$.
Отрицанием этого будет "какой-то элемент $A$ не является элементом множества $B$", что полностью записывается как "существует такой $x$, что $x$ принадлежит $A$ и $x$ не принадлежит $B$. Формулой: $\exists x: x \in A \wedge x \notin B$.

Тут может быть некоторая проблема с конвертацией связок русского языка в формальные. "для каждого элемент $A$ выполнено $P$" превращается в импликацию: "для любого $x$: если $x$ принадлежит $A$, то $P$".
А "существует $X$ принадлежащий $A$, для которого выполнена $P$" превращается в конъюнкцию: "существует $x$: ($x$ принадлежит $A$) и $P$"

Aether в сообщении #1201383 писал(а):

Для того, чтобы множество $A$ не являлось подмножеством множества $B$, достаточно

Не получится: мы же доказываем, что является подмножеством, поэтому достаточные условия на то, чтобы не являться подмножеством, нам не нужны (они всё равно окажутся не выполнены).

-- 18.03.2017, 02:58 --

Riurik в сообщении #1201384 писал(а):

доказывать, что пустое множество является подмножеством всех множеств не имеет смысла

Выводится. Аксиомы теории множеств обычно формулируют вообще без значка $\subset$, который потом определяют через $\in$.

[Riurik]

mihaild в сообщении #1201385 писал(а):

Если хотя бы один элемент $A$ не принадлежит $B$.

Да, а тут ни один элемент $A$ не принадлежит $B$. А значит рассуждения о том, что что-то из пустого множества принадлежит какому-то множеству, не имеют смысла. Они просто не вписываются в определение.

[Aether]

Riurik в сообщении #1201384 писал(а):

Это аксиома и все. Из определения не выводится.

На практике не всегда удобно:
У нас есть множество кур и множество уток, ни одно из них не является подмножеством другого. Кур мы распродали всех, а уток немного осталось. Теперь в бухгалтерской отчетности мы должны записать, что в множестве уток у нас осталось 0 кур, хотя до продажи последней курицы мы писали, что утки и куры- это отдельные множества и при этом также среди уток у нас было 0 кур. Т.е. лишний головняк людям.

К тому же эта аксиома противоречит аксиоме регулярности, согласно которой множество не может включать себя в качестве элемента.

Аксиома регулярности введена из практических соображений, но возможно существуют какие-то аксиоматизации и без неё, относительно которых Ваша точка зрения может оказаться справедливой.

[Riurik]

Aether в сообщении #1201391 писал(а):

Теперь в бухгалтерской отчетности мы должны записать

Хотите – не пишите. В чем проблема то?

-- 18.03.2017, 04:26 --

Aether в сообщении #1201391 писал(а):

К тому же эта аксиома противоречит аксиоме регулярности, согласно которой множество не может включать себя в качестве элемента.

Т.е. вы не согласны с тем, что пустое множество является подмножеством любого множества?

-- 18.03.2017, 04:30 --

И тут не про пустое множество кур, а про пустое множество вообще. Пустое множество есть пустое множество. Это не множество ни кур, ни уток.

-- 18.03.2017, 04:32 --

Aether в сообщении #1201391 писал(а):

в качестве элемента

А кто сказал "в качестве элемента"? В качестве подмножества, вообще-то.

[Aether]

Riurik в сообщении #1201392 писал(а):

Т.е. вы не согласны с тем, что пустое множество является подмножеством любого множества?

А Вы согласны с тем, что Вы и некогда умерший осел - одно лицо, ну, или что он хотябы находится внутри Вас?

[Lia]

Тема закрыта в связи с неготовностью топикстартера выслушивать ответы и переходом во флуд.