СТО, о инвариантности интервала

[misha.physics]

Здравствуйте, несколько волнуюсь печатая первое сообщение на этом форуме но надо ведь с чего то начинать

Читаю Ландау-Лифшица, теорию поля. Хотим выразить принцип инвариантности скорости света математически. Рассматриваем распространение света из одной точки в другую в системах $K$ и $K^\prime$. Далее проводя анализ получаем:

$$c^2(t_2-t_1)^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2-(z_2-z_1)^2=0$$

Далее говорится что из инвариантности скорости света следует что если $ds=0$ то и $ds^\prime =0$ и:

$$c^2(t_2^\prime-t_1^\prime)^2-(x_2^\prime-x_1^\prime)^2-(y_2^\prime-y_1^\prime)^2-(z_2^\prime-z_1^\prime)^2=0$$

а значит $ds^2=a\cdot ds^{\prime 2}$ и потом доказывается что $ds^2=ds^{\prime 2}$.
Но мои рассуждения таковы: второе уравнение мы можем получить так же как получили и первое (приравнять пути прохождения светом через координаты по теореме Пифагора и через время прохождения и скорость света). Далее поскольку левые части уравнений равны нулю для двух произвольных событий связанных с распространением света то они равни между собой и отсюда сразу следует равность интервалов (только для событий связанных со светом, да?, а потом уже можно говорить что $ds^2=a\cdot ds^{\prime 2}$). Далее, я не понимаю, почему это равенство должно быть следствием инвариантности скорости света. Ведь если в системе $K^\prime$ скорость света будет равна $c^\prime$ то проводя анализ для этих систем по отдельности получим:

$$c^2(t_2-t_1)^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2-(z_2-z_1)^2=0$$

$$c^{\prime 2}(t_2^\prime-t_1^\prime)^2-(x_2^\prime-x_1^\prime)^2-(y_2^\prime-y_1^\prime)^2-(z_2^\prime-z_1^\prime)^2=0$$

И отсюда снова получаєм что $ds^2=ds^{\prime 2}=0$ (для света), где:
$ds^{\prime 2}=c^{\prime 2}dt^{\prime 2}-dx^{\prime 2}-dy^{\prime 2}-dz^{\prime 2}$.

Я понимаю что где-то делаю ошибку но пока не понимаю где. Обьясните пожалуйста.

Главный вопрос заключается в этом: почему говорят что инвариантность интервала является математическим виражением постоянства скорости света? То есть, мне кажется не совсем верным это утверждение "из инвариантности скорости света следует что если $ds=0$ то и $ds^\prime =0$", ведь для этого не обязательно чтобы скорость света была постоянной. И возникает этот вопрос потому что я "придумал" выше как сделать чтобы интервалы были равны нулю если скорость света различна в двух системах. Ведь если эта скорость различна то интервал и там и там будет нулевым. Возможно проблема при таком подходе заключается в том что мы не сможем обобщить эту инвариантность для любих собитий не только для света? Или может само определение интервала предполагает что и там и так скорость света должна быть одинаковой?...

Кстати, когда говорится что $ds^2=a\cdot ds^{\prime 2}$ то уже имеются ввиду интервалы для любых событий не обязательно для распространения света, я правильно понимаю?

P.S. В тексте возможны ошибки, просто русский не является моим родным языком (я из Украины), я никогда его не изучал систематически, все что знаю о нем - это из книжек :)

[rustot]

Мне вот в этом выводе тоже видится какая то лакуна. $d(\sin(x))$ и $d(x)$ тоже бесконечно малые одного порядка, тоже одновременно принимают нулевое значение, однако из этого не следует, что они равны друг другу (или между ними постоянный коэффициент пропорциональности) в других точках. ps. а не, это я что то ступил, не принимают они вместе нулевое значение :)

В выводе явно подразумевается что изначально известно что зависимость линейна, $ds' = k_1 ds + k_2$, а потом уже на это накладываются дополнительные исходные посылки.

[Ascold]

Посмотрите про инвариантность интервала книжку Иродова "Основные законы механики", или если хотите посерьёзнее - Угарова "Специальная теория относительности", там этот вопрос решён по-другому и более ясно.

[Munin]

Хорошо известное "неудачное" место в Ландау-Лифшице.

[misha.physics]

Ascold, спасибо вам за рекомендуемые книги, читал первую, там вид интервала как бы угадивается а потом доказывается его инвариантность относительно преобразований Лоренца. Думаю, такое обьяснение меня пока устроит.
Вторую книгу скачал, но ее трудно читать из-за плохого качества оцифрирования, хотя первое мнение она вызывает у меня хорошее.

[Munin]

Ещё рекомендую
Тейлор, Уилер. Физика пространства-времени.

[misha.physics]

Munin, спасибо. Эта книга у меня есть в списке "к чтению". Просто сейчас я читаю МТУ, дошел до второй части "Физика в плоском пространстве-времени" и решил сначала почитать ЛЛ2 о СТО. А потом еще Вайнберга...
Должен признаться, что моя стратегия относительно изучения ОТО, в основном, основывается на Ваших советах и рекомендациях в других ветках форума.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1201313 писал(а):

Просто сейчас я читаю МТУ

Ну, всё в неправильном порядке :-) Тейлор-Уилер - книжка "детская" по сравнению с МТУ. Её стоит прочитать до МТУ и даже до ЛЛ-2.

[misha.physics]

Munin, да, честно говоря, МТУ на даном этапе не является сложным (наверное, мне надо было добавить что я сейчас студент 5-го курса физического факультета). А Тейлора-Уилера хочется прочитать из за моей любви к хорошей немного научно-популярной литературе.

[Munin]

А, ну тогда странно, что у вас это место вызвало затруднения.

Идея простая: рассматриваем линейные замены координат. Из инвариантности скорости света получаем, что точки светового конуса должны переходить в точки светового конуса. Немного математики, и получается, что удовлетворяют этим условиям только преобразования Лоренца.

[misha.physics]

Munin, да, мне надо было сразу о них подумать (преобразования Лоренца), просто у ЛЛ2 они идут после интервала, и наверное предполагалось что читатель с ними уже знаком. А вот у Иродова наоборот, более последовательно на мой взгляд.
То есть, из инвариантности скорости света (и принципа относительности) вытекают преобразования Лоренца, а из них - инвариантность интервала. Надеюсь я правильно понял :)

[Ascold]

Цитата:

То есть, из инвариантности скорости света (и принципа относительности) вытекают преобразования Лоренца, а из них - инвариантность интервала. Надеюсь я правильно понял

Да, правильно. Причём технически это можно сделать разными не сильно различающимися путями. Первый способ - это как у Иродова, т.е. цепочка такая: из принципа относительности и постоянства $c$ через мысленный эксперимент получаем лоренцево замедление времени и сокращение длины, вводим системы координат, получаем преобразования Лоренца, далее обнаруживаем, что интервал инвариантен.
А по-другому можно так: пишем обобщённые преобразования координат от одной ИСО к другой, накладываем физико-философские требования однородности пространства-времени, а также изотропности пространства, убеждаемся, что преобразования получаются линейными, а коэффициенты могут зависеть лишь от относительной скорости ИСО и констант. Из невозможности физически различить ИСО получаем кучу нулей в коэффициентах(для поперечных координат), затем вспоминаем про скорость света, получаем преобразования Лоренца, ну а далее - интервал. Не поручусь, что в Угарове это есть, хотя, м.б. и есть, не помню.
Ну или со световым конусом поиграйте, как Munin советует.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1201332 писал(а):

То есть, из инвариантности скорости света (и принципа относительности) вытекают преобразования Лоренца, а из них - инвариантность интервала. Надеюсь я правильно понял :)

Строго говоря, надо ещё убрать масштабирование. Хотя да, если взять принцип относительности, он масштабирование тоже фиксирует. Да, тогда всё правильно.

[misha.physics]

Ascold, Munin, спасибо, пойду читать дальше.