Несовместные и зависимые события

[Stensen]

Доброго времени суток. Уважаемые, подскажите, можно ли привести пример несовместных и в то же время зависимых событий в теории вероятностей? Или таких примеров не существует?
Например, можно ли считать события:
1. в 1-м испытании выбираем без возвращения белый шар из корзины, в которой находятся белые и черные шары
2. затем выбираем белый шар из той же корзины.
Понятно, что вероятность выбора белого шара во 2-м испытании зависит от цвета первого выбранного шара. Корректно ли будет считать, выбор второго шара единичным испытанием и соответственно несовместным с первым испытанием?

[Anton_Peplov]

Stensen в сообщении #1199858 писал(а):

можно ли привести пример несовместных и в то же время зависимых событий в теории вероятностей?

Рассмотрим события $A$ и $\neg A$. Что можно сказать:
1) об их совместности
2) об их (не)зависимости?

[warlock66613]

Stensen в сообщении #1199858 писал(а):

можно ли привести пример несовместных и в то же время зависимых событий

А пример несовместных и независимых событий вы можете привести?

[iifat]

Странный вопрос, как по мне. Несовместность — один из видов зависимости ж, не?
И при чём тут испытания? Зависимымы/независимыми бывают, насколько помню, события, а не.
И в чём конкретно несовместность в примере? Вот если там ровно один белый шар — тогда да.

[arseniiv]

iifat в сообщении #1199862 писал(а):

Несовместность — один из видов зависимости ж, не?

Если оба события непусты. Иначе это уже вид независимости.

-- Пн мар 13, 2017 15:52:17 --

Вообще, всё есть вот тут прямо сверху.

[ShMaxG]

iifat в сообщении #1199862 писал(а):

Несовместность — один из видов зависимости ж, не?

Не. Не путайте человека. Понятно, что автор имел ввиду стохастическую независимость, которая никак не связана с несовместностью. По всякому может быть.

Stensen
Выпишите определение независимых событий. Выпишите определение несовместных событий. И ответьте на вопрос Anton_Peplov.

[Stensen]

Anton_Peplov в сообщении #1199860 писал(а):

Рассмотрим события $A$ и $\neg A$. Что можно сказать:
1) об их совместности
2) об их (не)зависимости?

1. Несовместность очевидна: $A \cap \bar{A} = \left\lbrace \varnothing \right\rbrace$
2. $P(A \cap \bar{A})=0, \, P(A) > 0, \, P(\bar{A})>0 $ , т.е. $P(A \cap \bar{A}) \ne P(A) P(\bar{A}) $ т.е. исходя из определения независимости эти события - зависимы.

arseniiv в сообщении #1199864 писал(а):

Вообще, всё есть вот тут прямо сверху.

Спасибо прочитал.

warlock66613 в сообщении #1199861 писал(а):

А пример несовместных и независимых событий вы можете привести?

Вроде разобрался. Если $A=\left\lbrace \varnothing \right\rbrace, \, \bar{A}=\left\lbrace \varnothing \right\rbrace \Rightarrow P(A \cap \bar{A}) = P(A)P(\bar{A}) = 0$.

ShMaxG в сообщении #1199866 писал(а):

iifat в сообщении #1199862 писал(а):

Несовместность — один из видов зависимости ж, не?

Не. Не путайте человека. Понятно, что автор имел ввиду стохастическую независимость, которая никак не связана с несовместностью. По всякому может быть.

Поясните пожалуйста последний комментарий про: "...стохастическую независимость, которая никак не связана с несовместностью. По всякому может быть...".
Правильно ли я понял, что в нетривиальном случае (для не пустых $A, \, \bar{A}$ говорить о статистической зависимости несовместных событий не имеет смысла? Эти события связаны функционально, типа, если $A$ произошло, то $\bar{A}$ точно не произойдет (произойдет с вероятностью $P(\bar{A})=0$ )? Т.е. пустые события - это единственное возможное сочетание одновременной несовместности и независимости?

[arseniiv]

Пустым может быть и лишь одно из них.

UPD. Фу, ерунду написал. Не пустым, а имеющим вероятность нуль, конечно. Посмотрел на следующий пост ShMaxG и увидел, что написал не то, что думал.

[ShMaxG]

Stensen в сообщении #1199910 писал(а):

Поясните пожалуйста последний комментарий про: "...стохастическую независимость, которая никак не связана с несовместностью. По всякому может быть...".

Поясняю.

1) Есть примеры несовместных независимых событий.
2) Есть примеры несовместных зависимых событий.
3) Есть примеры совместных независимых событий.
4) Есть примеры совместных зависимых событий.

Вероятностная мера может быть равна нулю и для непустого множества. Поэтому Ваше утверждение

Stensen в сообщении #1199910 писал(а):

Т.е. пустые события - это единственное возможное сочетание одновременной несовместности и независимости?

неверно.

Далее, если $A=\varnothing$, то $\bar A = \Omega$, т.е. пространству элементарных исходов, а не пустому множеству, как у Вас.

И я предостерегаю Вас от использования фигурных скобок, когда вы пишете $A=\{\varnothing\}$. Потому что получается, что $A$ является множеством, содержащее пустое множество (значит оно не пусто), а это не то, что Вам нужно.

[Mikhail_K]

Другими словами.
Несовместность событий $A$ и $B$ означает, что $AB=\varnothing$ (откуда, в частности, следует, что $P(AB)=0$).
Независимость событий $A$ и $B$ означает, что $P(AB)=P(A)P(B)$.
Для несовместных событий последнее равенство принимает вид $P(A)P(B)=0$, а это значит, что либо $P(A)=0$, либо $P(B)=0$.

Мы видим, что несовместные события $A$ и $B$ могут быть независимыми только в том весьма специальном случае, когда вероятность хотя бы одного из этих событий равна нулю (что, однако, ещё не означает невозможность этого события). И наоборот, если для несовместных событий $A$ и $B$ данное условие выполнено, то они будут независимы.

Во всех других случаях, когда несовместные события $A$ и $B$ оба имеют ненулевую вероятность, они обязательно будут зависимы.

[arseniiv]

Кошмар, я два раза написал «пусты» вместо «имеют вероятность ноль». Сейчас только увидел.

[Stensen]

Гранд сенкс.