Динамические системы, с чего начать

[slu4ayniyProcess]

Добрый день.

Имеется такое интересное направление в математике как математическая теория динамических систем. Аттракторы, точки бифуркации и прочее.
Описывается все это дело с помощью системы дифференциальных уравнений.

Хотелось бы узнать, у тех кто изучал предмет или может быть ведет исследования в данной области. С чего подступиться? Какой необходимый набор знаний в математике нужно иметь, чтобы начать изучать эту тему.
Имеется знание дифференциального и интегрального исчислений одного и многих переменных. Теории рядов (обычных, функциональных, степенных). Основные понятия аналитической геометрии.(матрицы и прочее.). Изучаю ОДУ и ДУ в ЧП первого порядка.
Соответственно какие разделы математики еще нужно знать? Уравнения мат. физики, вариационное исчисление, теория вероятности, мат. статистика, теория случайных процессов, ряды фурье, функциональный анализ, интегральные уравнения, теория групп Ли, еще что-то?
Также какую литературу можно почитать по динамическим системам?

Считаете ли вы это направление интересным? Как по вашему мнению имеется ли в нем перспективные пути для исследования?

[Hasek]

slu4ayniyProcess в сообщении #1198306 писал(а):

Изучаю ОДУ и ДУ в ЧП первого порядка.
Соответственно какие разделы математики еще нужно знать? Уравнения мат. физики, вариационное исчисление, теория вероятности, мат. статистика, теория случайных процессов, ряды фурье, функциональный анализ, интегральные уравнения, теория групп Ли, еще что-то?

Динамические системы являются продолжением курса обыкновенных дифференциальных уравнений, поэтому сначала надо хорошо разобраться с ними, т.е. как раз вот что Вы написали "ОДУ и ДУ в ЧП первого порядка" (и второго, и высших для ОДУ тоже надо бы), "уравнения мат. физики", "вариационное исчисление". Всё остальное Вам вряд ли сильно пригодится (как минимум сначала).

slu4ayniyProcess в сообщении #1198306 писал(а):

Также какую литературу можно почитать по динамическим системам?

Почти что угодно со словами "динамические системы", "дифференциальные уравнения" или "эргодическая теория" в названии. Конкретная литература зависит непосредственно от Ваших предполагаемых научных интересов. Если вопрос исключительно об учебном материале, краеугольным камнем тут являются ОДУ, читайте учебники по ним.

slu4ayniyProcess в сообщении #1198306 писал(а):

Считаете ли вы это направление интересным?

На мой вкус это одна из самых унылых областей математики.

slu4ayniyProcess в сообщении #1198306 писал(а):

Как по вашему мнению имеется ли в нем перспективные пути для исследования?

Безусловно да. Например, глобальные бифуркации векторных полей на двумерной сфере очень на слуху, кажется, там какую-то содержательную теорию как раз сейчас делают, наверняка есть и другие направления.

[Vince Diesel]

По книгам есть, например, Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. "Современные проблемы нелинейной динамики", Каток А.Б., Хасселблат Б. "Введение в современную теорию динамических систем".

[dsge]

slu4ayniyProcess в сообщении #1198306 писал(а):

Соответственно какие разделы математики еще нужно знать? Уравнения мат. физики, вариационное исчисление, теория вероятности, мат. статистика, теория случайных процессов, ряды фурье, функциональный анализ, интегральные уравнения, теория групп Ли, еще что-то?

Динамические системы - это обширная область математики со своими подразделами, зачастую мало-связанными друг с другом, и каждый использующий свой математический инструментарий. Неполный список выглядит так: 1. топологичекая теория динамических систем; 2. дифференциальная теория динамических систем; 3. эргодическая теория; 4. качественная теория ОДУ, в том числе бифуркации; 5. теория одномерных отображений (Фейгенбаум, Шарковский); 6. комплексная динамика (красивые картинки). Чтобы работать в каждой из этих областей надо знать математику на университетском уровне, т.е. все перечисленные вами разделы математики.
Для введения полезно почитать научно-популярные книжки Арнольда - Теория катастроф, Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук, Жесткие и мягкие математические модели, Что такое математика? А потом перейти к его учебникам - Дифференциальные уравнения, Геометрическая теория диффур, Математические методы механики.

Hasek в сообщении #1198406 писал(а):

На мой вкус это одна из самых унылых областей математики.

На 2-х последних математических конгрессах как минимум 2 премии Филдса были выданы по динамическим системам, а если учесть премии за стохастические диффуры и броуновское движение, то 4. Да и одна из проблем тысячелетия - уравнение Навье-Стокса - относится скорее к динамическим системам.

[demolishka]

Хорошую книжку Вам уже посоветовали

Vince Diesel в сообщении #1198419 писал(а):

Каток А.Б., Хасселблат Б. "Введение в современную теорию динамических систем".

Есть еще более простой вариант: Каток А.Б., Хасселблат Б. "Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений". Везде изложен необходимый минимум для понимания. Это по конечномерной динамике.

По бесконечномерной динамике (как правило это эволюционные уравнения) знаю только James C. Robinson "Infinite dimensional dynamical systems".

[Hasek]

(Оффтоп)

dsge в сообщении #1198493 писал(а):

На 2-х последних математических конгрессах как минимум 2 премии Филдса были выданы по динамическим системам, а если учесть премии за стохастические диффуры и броуновское движение, то 4. Да и одна из проблем тысячелетия - уравнение Навье-Стокса - относится скорее к динамическим системам.

Я и написал, что на свой вкус это скучная область. То, что там есть, чем заняться, тоже отметил в ответе на последнее цитирование в своём сообщении. Конечно, это заведомо провокационная постановка вопроса, но раз уж топикстартер спросил...

[slu4ayniyProcess]

Всем большое спасибо за ответы и книги по тематике.

Hasek в сообщении #1198406 писал(а):

На мой вкус это одна из самых унылых областей математики.

Унылая в плане, не интересно ей заниматься? Или в плане небольшого практического применения?

dsge в сообщении #1198493 писал(а):

На 2-х последних математических конгрессах как минимум 2 премии Филдса были выданы по динамическим системам, а если учесть премии за стохастические диффуры и броуновское движение, то 4. Да и одна из проблем тысячелетия - уравнение Навье-Стокса - относится скорее к динамическим системам.

Стохастические диффуры они я так понимаю на ранг выше динамических систем, т.к. нужно знать еще материал по вероятностным процессам?

[Hasek]

slu4ayniyProcess в сообщении #1198658 писал(а):

Унылая в плане, не интересно ей заниматься? Или в плане небольшого практического применения?

Конкретно для меня всё, так или иначе связанное и с динамическими системами и, особенно, со всякими УрЧП и матфизикой в классическом её понимании, подходит под "не интересно ей заниматься". Вообще довольно многие студенты на математических специальностях находят диффуры и УрЧП невероятно скучными, я тут не одинок. Но обращать внимани на эту ремарку не надо, математика большая, каждый может найти область себе по вкусу, просто вы спросили -- я ответил.

[dsge]

Hasek в сообщении #1199068 писал(а):

Вообще довольно многие студенты на математических специальностях находят диффуры и УрЧП невероятно скучными, я тут не одинок.

Возможно это передается от наставников, ограниченных своим кругозором (специалисты по алгебраических геометрии и топологии). Как отмечено выше некоторые члены комитетов по Филдсовкой премии (как, впрочем, и премий Абеля и Вольфа) не разделяют этой точки зрения на динамические системы вообще и диффуры в частности.

[Hasek]

dsge в сообщении #1199074 писал(а):

Возможно это передается от наставников, ограниченных своим кругозором (специалисты по алгебраических геометрии и топологии).

Не ведаю, от кого передаётся другим, но мне передалось от лучших представителей советской школы дифференциальных уравнений, математической физики и вычислительной математики. Хотя с тем, что у некоторых специалистов (почему-то обычно это диффурщики и матфизики) действительно ограниченный кругозор в других областях математики, полностью согласен.

(Оффтоп)

Наша дискуссия выглядит несколько забавно. Вы, видимо среагировав на ВШЭ или НМУ в профиле, пытаетесь тоненько закинуть удочку троллинга про абстрактных алгебраических геометров и топологов, не зная, что с вами переписывается человек, до этого получивший "классическое университетское образование" в МГУ и защитивший диплом по пресловутым дифференциальным уравнениям.

dsge в сообщении #1199074 писал(а):

Как отмечено выше некоторые члены комитетов по Филдсовкой премии (как, впрочем, и премий Абеля и Вольфа) не разделяют этой точки зрения на динамические системы вообще и диффуры в частности.

Но вы ведь понимаете, что этот аргумент обратим? То есть что Филдсовские (и другие) премии выдавались и выдаются не только за динсистемы и диффуры, но и за многое другое.

[dsge]

Hasek в сообщении #1199284 писал(а):

Но вы ведь понимаете, что этот аргумент обратим? То есть что Филдсовские (и другие) премии выдавались и выдаются не только за динсистемы и диффуры, но и за многое другое.

Аргумент был не тот, что премии даются только за динсистемы и диффуры, а тот, что некоторые очень уважаемые математики не разделяют точки зрения, что динсистемы - "это одна из самых унылых областей математики."

(Оффтоп)

Hasek в сообщении #1199284 писал(а):

Вы, видимо среагировав на ВШЭ или НМУ в профиле, пытаетесь тоненько закинуть удочку троллинга про абстрактных алгебраических геометров и топологов

Высказывание было сделано в виде гипотезы, а не троллинга; ученики часто копируют поведение своих учителей и повторяют фразы, сказанные ими. Необязательно это ваш случай, но такое бывает; к тому же в ВШЭ имеются преподаватели, склонные к безапелляционным утверждениям.