Треугольники равной площади

[Andrey A]

Пары пифагоровых треугольников равной площади с катетами $a,b;\ a',b'$ и гипотенузами $c,c'$ порождают тройки $(2a,c,c) (2b,c,c) (2a',c',c')$, а таких уже ясно что бесконечно много. Хотя, третий у Вас не равнобедренный. Такие тоже могут быть с целой площадью, надо спросить у Герона. На первое место вопрос поставлен от удивления, что неравные треугольники равной площади могут иметь еще и две общие стороны. Еще больше удивило, что для треугольников равной площади $(a,b,c)(a',b',c')$ может выполняться $a>a',b>b', c>c'$, например $(5,18,22)(4,15,16)$.
Серпинский (по Вашей ссылке) посвящает главу доказательству того факта, что для любого натурального $n$ найдутся $n$ пифагоровых треугольников равной площади. Сильное утверждение и красивое доказательство. Оно касается и троек равноудаленных квадратов. Наименьшая пара такая:

$$1,29,41$$

$$23,37,47$$

Тройка:

$$2,58,82$$

$$46,74,94$$

$$97,113,127$$

Наименьшая четверка приведена выше, и этот список может быть продолжен до бесконечности, что следует из доказательства Серпинского. Четверки равноудаленных квадратов, похоже, бывают только такие: $a^2,a^2,a^2,a^2$. Буду рад, если ошибаюсь.

[scwec]

Параметрическое решение для получения трех треугольников с 5 целыми длинами сторон и целой одинаковой площадью.
1. $(2k(k+2)(k^2-2k-2), 2k^2+4k+2+k^4, 2k^2+4k+2+k^4)$,
2. $(4(k^2-1)(2k+1), 2k^2+4k+2+k^4, 2k^2+4k+2+k^4)$,
3. $(2k(k+2)(k^2-2k-2), (k-1)(2k+1)(k^2+2k+2), (k+1)(5k^2+2k+2))$
Натуральные $k>2$

(Оффтоп)

(поправил опечатки: $k^2-2k-2$ вместо $k^2-k-2$ и натуральные $k$ вместо целых).

Два первых треугольника равнобедренные, третий - нет.
Площадь каждого треугольника равна $2k(k+2)(2k+1)(k^2-1)(k^2-2k-2)$.
Из наличия этого параметрического решения следует и бесконечность числа троек.
Andrey A, по поводу равноудаленных квадратов Вы не ошибаетесь - четыре квадрата различных целых чисел не могут образовывать арифметическую прогрессию (П.Ферма).

[Andrey A]

Всё, первый вопрос считаем закрытым. Спасибо. От второго голова болит, сил нет. Остаётся на будущее.

[Andrey A]

Задача нахождения пар равнобедренных треугольников целой площади выводит немножко из замкнутого круга, если ее решать способом, заявленным в начале. Западня имеется конечно, но выглядит иначе:

$$\left\{\begin{matrix} xy&=p^4 \\ (x+z^2)(y+t^2)&=q^4 \end{matrix}\right.$$

Подробности до востребования, если есть надежда на разрешимость такой системы при вз. простых $(p,q)$. Там восемь переменных, и без повода нет смысла огород городить.

[scwec]

Два параметрических решения получены после сведения предложенной системы уравнений
к уравнению эллиптической кривой $w^2=u^3+\left(\dfrac{p^2}{q^2}+\dfrac{q^2}{p^2}\right)u^2+u$
и вычислению на ней рациональной точки бесконечного порядка.

p = 2*m+1, 
q = m^2-1, 
x = -(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)*m*(2*m+1)/t^2,
y = -t^2*(8*m^3+12*m^2+6*m+1)/(m*(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)), 
z = -m*(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)/(t*(m^2+m+1))
t=t

p = 2*m+1,
q = m^2-1,
x = -(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)*m*(8*m^3+12*m^2+6*m+1)/((m^4+2*m^3+3*m^2+2*m+1)*t^2),
y = -t^2*(1+4*m+7*m^2+8*m^3+5*m^4+2*m^5)/(m*(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)),
z = -m*(m^5+2*m^4+2*m^3+8*m^2+10*m+4)/(t*(m^2+m+1)),
t=t

Таких параметрических решений бесконечное число (рациональная точка бесконечного порядка) и, может быть, какие-то из них
подходят к замыслу ТС, но они невероятно громоздки и чем дальше, тем больше. Делайте выводы.

[Andrey A]

scwec, спасибо. На сколько я понял, ситуация не равнозначная в сравнении со стандартным подходом. Я тогда выложу к вечеру результаты по возможности кратко, мало ли пригодится.

[Andrey A]

Общее пропорциональное решение для двух равнобедренных треугольников равной площади с основаниями $U,u$ и сторонами $V,v$ есть функция от восьми (не совсем свободных) переменных $A,B,C,D,a,b,c,d$ таких, что дроби $\dfrac{ABCD}{abcd}$ и $\dfrac{Abd}{aBD}$ несократимы. Для них определены

$$\begin{matrix} X=bB^2CD\left((acD)^2-(ACd)^2\right) & Y_1=2abc^2\left(Acb^2d^3-aCB^2D^3\right) & Y_2=2Abd^2\left(ADB^2C^3-adb^2c^3\right)\\ x=Bb^2cd\left((acD)^2-(ACd)^2\right) & y_1=2ABC^2\left(Acb^2 d^3-aCB^2D^3\right) & y_2=2aBD^2\left(ADB^2C^3-adb^2c^3\right) \end{matrix}$$

Тогда

$$\begin{matrix} U=\left|2X \right| & V=\left|X \right|+\left|Y \right|\\ u=\left|2x \right| & v=\left|x\right|+\left|y\right|, \end{matrix}$$

причем игреки различных индексов должны быть противоположных знаков, и выбирается из них меньший по модулю. Подобные оговорки хороши для кулинарных рецептов, но их не избежать: математически треугольники с отрицательной площадью ничем не хуже остальных. Площадь

$$s=\left| 2B^2CDb^2cd\left((acD)^2-(ACd)^2\right)\sqrt{Aa(Acb^2d^3-aCB^2D^3)(adb^2c^3-ADB^2C^3)}\right|$$

Чтобы $s$ оказалось целым числом, под радикалом должен быть целый квадрат, и тут тонкий момент: переменные $A,a$ вз. простые, значит скобочки под радикалом должны быть вида $Ap^2,\ aq^2$, но слагаемые внутри скобок кратны этим переменным и, значит, не могут быть вз. просты между собой. Из условия видим, что $A$ может делить только $C$ и $a\mid c$. Делая замены $C\rightarrow AC',\ c\rightarrow ac'$, получаем

$$s=\left|2A^2B^2C'Da^2b^2c'd\left((c'D)^2a^4-(C'd)^2A^4\right)\sqrt{(c'b^2d^3-C'B^2D^3)(db^2c'^3a^4-DB^2C'^3A^4)} \right|$$

Произведения левых и правых слагаемых в новых скобках равны попарно $(abc'd)^4$ и $(ABC'D)^4$, являя собой общее решение уравнения $xy=p^4$. Приравнивая скобочки к целым квадратам, получаем вышеприведенную систему. Я ее повторно не выписываю чтобы не вносить путаницу, просто букв уже не хватает.

Исправлено 8.03

[Andrey A]

P.S.
Выражения в скобках под радикалом были бы симметричны, если вместо замены $C\rightarrow AC',\ c\rightarrow ac'$ сделать такую: $A\rightarrow A'A'',\ a\rightarrow a'a'',\ C\rightarrow A'a'C',\ c\rightarrow A''a''c'$. Тогда в основаниях четвертых степеней было бы по пять переменных $(A''a''bc'd)^4\ (A'a'BC'D)^4$. Но по условию пары $(C,a)$, $(c,A)$ взаимно просты, и такая замена избыточна. Впрочем, лишнюю четвертую степень всегда можно спрятать в квадрат, и появляются варианты.

Исправлено 23:40

[scwec]

Приведу параметрическое решение для пар пифагоровых треугольников со сторонами $a,b,c, a^2+b^2=c^2$ и $A,B,C, A^2+B^2=C^2$ таких, что отношение их площадей - любое заданное рациональное $K>0$.
$a=|2n^2{(2Km^4-n^4)(Km^4+n^4)}|$;
$b=|3Kn^2{m^4}{(Km^4-2n^4)}|$;
$c=|{n^2}(5K^2{m^8}-2Km^4{n^4}+2n^8)|$
Площадь треугольника $s=|3Km^4{n^4}(Km^4-2n^4)(2Km^4-n^4)(Km^4+n^4)|$

$A=|{2m^2}(Km^4+n^4)(Km^4-2n^4)|$;
$B=3m^2{n^4}(2Km^4-n^4)|$;
$C=|m^2(2K^2{m^8}-2Km^4{n^4}+5n^8)|$
Площадь треугольника $S=|3m^4{n^4}(Km^4-2n^4)(2Km^4-n^4)(Km^4+n^4)|$
и $s/S=K$. При $K=1$ получаются треугольники с одинаковой площадью.
Таким образом, меняя $m,n$ легко получить неограниченное число пар треугольников с указанным свойством.
Заодно доказано, что для любого рационального положительного $K$ найдется бесконечно много пифагоровых треугольников, у которых отношение площадей равно $K$.
Теперь, как это получается.
Рассматриваем уравнение $nx(x^2-n^2)=Kmy(y^2-m^2)\qquad(1)$
Заменой переменных
$x=\dfrac{Km^3{wu}-Kmwn^6}{K^4m^{10}{n^2}+{n^{10}}K^2{m^2}-3K^2{m^4}{n^4}u+u^3}\qquad(2)$
$y=\dfrac{-nwK^2{m^6}+n^3{wu}}{K^4m^{10}{n^2}+n^{10}{K^2}{m^2}-3K^2{m^4}{n^4}u+u^3}\qquad(3)$
(для их получения можно использовать Maple) уравнение $(1)$ приводится к виду
$w^2=u^3-3m^4{n^4}{K^2}u+n^{10}K^2{m^2}+K^4{m^{10}}n^2\qquad(4)$
Легко увидеть рациональное решение $u=2Km^2{n^2}, w=Kmn(Km^4+n^4)$.
Подставляя $u,w$ в $(2),(3)$ находим $x,y$, а затем по известным формулам для сторон пифагорова треугольника
$a=|2xn|,b=|x^2-n^2|,c=x^2+n^2,A=|2ym|,B=|y^2-m^2|,C=y^2+m^2$ получаем приведенные выше параметрические решения.
Таких параметрических решений существует бесконечное количество (по крайней мере для целых $K,m,n$) поскольку
точка $P=(2Km^2{n^2},Kmn(Km^4+n^4))$ на $(4)$ имеет бесконечный порядок по теореме Лутц-Нагель из-за не целых координат точки $2P$ (координаты не привожу из-за их громоздкости).
Таким образом, точки $2P,3P, 4P,...$ порождают бесконечное число параметрических решений кроме тех,
которые здесь уже приведены.