Электронный газ в цилиндре

[AnatolyBa]

amon
Меня смущает один нюанс в вашей задаче. Если до включения поля плотность распределения электронов однородна, то после включения электроны из слоя порядка ларморовского диаметра несколько прижмутся к плоскости, плотность возрастет и станет неоднородной. А демон (коллега демона Максвелла), который выравнивал бы плотность, вроде бы у вас не предусмотрен. В исходной задаче такой демон вроде бы предусмотрен по условию, т. к. не сказано что поле "включается", а просто ситуация задана и плотность однородна.
Таким образом, если в результате решения вашей задачи давление получится больше чем $\frac{1}{2}n m v^2$, (а у меня таки получилось $2.2 n m v^2$, но возможно наврал) то можно это интерпретировать как влияние локального возрастания плотности

[amon]

AnatolyBa в сообщении #1198560 писал(а):

В исходной задаче такой демон вроде бы предусмотрен по условию

И там он отдыхает. Роль такого демона играют межэлектронные столкновения, а их нет в обеих задачах. Так что электрон, оказавшийся к своему несчастью ближе циклотронного диаметра к стенке, обречен долбить по ней как дятел до второго пришествия. (Про ответ пока помолчу - надо дать другим возможность отличиться.)

[fred1996]

amon в сообщении #1198411 писал(а):

mihiv в сообщении #1198390 писал(а):

Если предположить, что оно равно давлению при нулевом поле

Господа, попробуйте решить задачу с плоскостью. Там при нулевом поле ноль. Чувствую - узнаете нечто новое. Про то, что все происходит в пределах диаметра циклотронной орбиты - чистая правда, а больше он диаметра трубки или меньше - в условиях исходной задачи не сказано.

(Оффтоп)

кажись связались мы тут со знатным циклотронщиком

Ладно.
Приведу картинку для двух случаев, когда центр окружности сверху и снизу плоскости.



В обоих случаях если угол падения $\alpha$,
То при столкновении одного электрона передается импульс $p=2mv\cos\alpha$.
Поскольку распределение по направлениям скоростей равномерное, то в любом месте пространства концентрация элетронов в пределах угла $d\alpha$ будет $n\frac{d\alpha}{2\pi}$. То есть давление от электронов, столкнувшихся под углом $\alpha$ будет
$P=pn\frac{d\alpha}{2\pi}\cos\alpha v= \frac{1}{\pi}nmv^2\cos\alpha d\alpha$
Надо проинтегрировать по $\alpha$ от 0 до $\pi$, беря абсолютную величину косинуса.
В результате получаем $P=\frac{2}{\pi}nmv^2$, что несколько расходится с первоначальным результатом у Mihiv
Остается выяснить, в каком месте (местах) я наврал.

А может прав Amon?
Если электроны не сталкиваются между собой, то и анизотропии по направлениям у стенки уже нет? Че т я не соображу.

[amon]

fred1996 в сообщении #1198575 писал(а):

Поскольку распределение по направлениям скоростей равномерное

В топку распределение по скоростям, и так сумеем запутаться. Все электроны летят с одной скоростью вдоль оси $X,$ параллельной плоскости

fred1996 в сообщении #1198575 писал(а):

Приведу картинку для двух случаев, когда центр окружности сверху и снизу плоскости

Стесняюсь спросить, если электроны крутятся по часовой, куда и как полетит электрон после соударения на первой и второй картинке?

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1198575 писал(а):

кажись связались мы тут со знатным циклотронщиком

В связях с циклотроном не замечен, но скачущие орбиты много где по существу, включая квантовый холл.

[fred1996]

amon в сообщении #1198579 писал(а):

fred1996 в сообщении #1198575 писал(а):

Поскольку распределение по направлениям скоростей равномерное

В топку распределение по скоростям, и так сумеем запутаться. Все электроны летят с одной скоростью вдоль оси $X,$ параллельной плоскости

Ну летят параллельно. И? Вы намекаете на какие-то квантовые эффекты вблизи стенки?
Но задача у нас чисто классическая для продвинутых школьников. Типа меня. :)
Чувствую, что куда-то клоните. Только не чувствую куда.
Волны шепчущей галереи когда-то проходил. А вот волны скачущих электронов не доводилось. :)

fred1996 в сообщении #1198575 писал(а):

Приведу картинку для двух случаев, когда центр окружности сверху и снизу плоскости

Цитата:

Стесняюсь спросить, если электроны крутятся по часовой, куда и как полетит электрон после соударения на первой и второй картинке?

Электроны скачут вправо. А какое это имеет значение? Ну скачут, другие на их место прискачут.

Не удержусь еще раз отметить.
Пусть снизу плоскости крутятся те же электроны.
И в момент, когда одни электроны упали под углом $\alpha$ сверху, туда же упали под тем же углом снизу. Можно просто положить, что электроны не сталкивались со стенкой, а пролетели свободно просто поменявшись местами. То есть стенка вообще не влияет на распределение по плотностям и скоростям никакой роли.
И таким образом никакие стенки, как и в случае с обычным идеальным газом без полей не играют никакой роли.

[amon]

fred1996 в сообщении #1198586 писал(а):

А какое это имеет значение?

Никакого, просто помстилось, извините.

fred1996 в сообщении #1198586 писал(а):

стенка вообще не влияет на распределение по плотностям и скоростям никакой роли.

Хорошо, упрощаем дальше. Давайте сосчитаем давление создаваемое одним электроном на площадку размером много больше циклотронного радиуса за время много больше циклотронного периода (усредняем по большому количеству ударов одного электрона), а то Вас всё на статистику тянет, а задача механическая.

[fred1996]

amon в сообщении #1198595 писал(а):

fred1996 в сообщении #1198586 писал(а):

А какое это имеет значение?

Никакого, просто помстилось, извините.

fred1996 в сообщении #1198586 писал(а):

стенка вообще не влияет на распределение по плотностям и скоростям никакой роли.

Хорошо, упрощаем дальше. Давайте сосчитаем давление создаваемое одним электроном на площадку размером много больше циклотронного радиуса за время много больше циклотронного периода (усредняем по большому количеству ударов одного электрона), а то Вас всё на статистику тянет, а задача механическая.

Я это решение с давлением одного электрона в свое время и видел. Мол давайте усредним. Что мне и не понравилось. Дело в том, что в давлении участвуют в конце концов все электроны, которые расположены на одной дуге. Поэтому частота соударений одного электрона не играет роли. А играет роль изменение импульса одного электрона при соударении и множитель $nv$ - число электронов, ударившихся за единицу времени о единичную площадку. Такая вот статистика.
Посмотрите на дуги, которые я нарисовал. По этим дугам электронный поток движется с одинаковой скоростью, оказывая одинаковое давление как вода из шланга. Вы же не считаете частоту соударениймкаждой капли в струе. Вам достаточно знать объемный расход воды и скорость струи плюс угол падения. Все. Давление пропорционально квадрату скорости, плотности струи и косинусу угла падения. Школьная задача.

[amon]

fred1996 в сообщении #1198606 писал(а):

Дело в том, что в давлении участвуют в конце концов все электроны, которые расположены на одной дуге.

А давайте, все-таки, для одного решим, а там, глядишь, и со всеми разберемся.

[fred1996]

Ладно.
Пусть у нас Ларморовский радиус $r$, и угол падения $\alpha$. Тогда изменение импульса электрона будет $\Delta p=2mv\cos\alpha$.
Для верхней картинки время полета между столкновениями $\Delta t=2r\frac{\pi-\alpha}{v}$
Для второй картинки $\Delta t=2r\frac{\pi/2-\alpha}{v}$
То есть в первом случае средняя сила равна
$\frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{mv^2}{r}\frac{\cos\alpha}{\pi-\alpha}$
Во втором $\frac{mv^2}{r}\frac{\cos\alpha}{\pi/2-\alpha}$,
что при углах близких к $\pi/2$ дает $\frac{mv^2}{r}$
Что понятно и из идейных соображений. Магнитное поле пытается завернуть электрон, а стенка мешает.

[amon]

fred1996 в сообщении #1198624 писал(а):

Ладно.

Замечательно! Обращаю Ваше внимание, что сила (давление) зависит от $\alpha$, то бишь от того места, откуда электрон начал движение (высоты $h$ начального положения электрона). Теперь можно сосчитать давление, создаваемое тонким слоем электронов, начальное положение которых было между $h$ и $h+\Delta h.$ Потом по всем этим слоям придется проинтегрировать - и золотой ключик в кармане. Интеграл, правда, не берется ;) Видно, что ответ зависит от магнитного поля, и по дороге приходится-таки интегрировать.

[fred1996]

У вас интегралы не берутся, потому что не то что надо интегрируете. А мне фактически ничего и интегрировать не надо. Потому что я интегрирую не по высотам, а по углам падения. Высоты вам как-раз и путают всю картину.
На каждую маленькую площадочку поверхности падает поток электронов, плотность которой не зависит от угла падения.

[amon]

fred1996 в сообщении #1198651 писал(а):

а по углам падения.

А у нас разве углы падения равнораспределены? По условию задачи равнораспределены электроны в пространстве в момент включения поля, т.е. мои $h$, и что бы получить из этого угловое распределение еще потрудиться надо. К стати, если Вы умеете брать в элементарных функциях интеграл $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\alpha}{\pi-\alpha}d\alpha,$ то поделитесь с народом, а то мужики-то и не знают ;)

[fred1996]

Так а мы решаем мою задачу или вашу? :)
В моей задаче скорости распределены в плоскости $xy$ изотропно во всех направлениях.
И эта изотропность не нарушается и после включения поля. О чем я тут и распинаюсь ( симметрия относительно падений сквозных прохождений.
И интегралы эти совсем брать не надо. Частоты соударений совсем ни при чем. У вас электроны двигаются непрерывным потокам по дугам окружностей, тем самым создавая постоянное давление на стенки. Короче, вы все пытаетесь меня взять какой-то сумасшедший интеграл скажем так в неоптимальном порядке. Сначала вы фиксируете максимальную высоту электрона над поверхностью, по которой вычисляете угол падения, потом интегрируете по высоте. Что не есть оптимально. Или вы выбираете начальное условие, при котором все электроны двигаются параллельно стенке? Но это не есть моя задача.
В моей задаче электроны изначально летают с одинаковой вероятностью во всех направлениях в плоскости $xy$ и включение поля никак не нарушает эту равнораспределенность.

[fred1996]

amon
И еще.
В вашей задаче с изначально одинаковой скоростью по оси $x$ давление будет нестационарной функцией. Дело в том, что электроны каждого выделенного слоя на высоте $h$ возвращаются в этот слой через равные промежутки времени. Для каждого слоя это свой промежуток. То есть для каждого конкретного времени $t$ можно вычислить, электорны из каких изначальных слоев в этот момент ударятся о поверхность. То есть в ответе будет фигурировать сумма некоего конечного ряда с членами от слоев.
Таким образом ответ будет нестационарен по времени, хотя со временем эта временная зависимость будет сглаживаться.
В общем ваша задача при кажущейся начальной простоте имеет совсем уж нетривиальное решение. В отличие от моей.

[amon]

fred1996 в сообщении #1198655 писал(а):

И эта изотропность не нарушается и после включения поля.

Кто Вам это сказал? Не слушайте его больше. Электроны характеризуются функцией распределения (вероятностью найти в точке $\mathbf{r}$ частицу с импульсом $\mathbf{p}$) при включении поля направления вдоль поля и поперек поля становятся не эквивалентными и функция распределения станет анизотропной как по координате, так и по импульсу. Кроме того, из-за наличия стенок электроны у стенок остаются навсегда, и частота их соударения со стенками определяется не так, как для свободных частиц. Эта частота зависит от магнитного поля. Если это делать честно, то, боюсь, решать уравнение Больцмана мало кто захочет, поэтому я упростил задачу до безобразия. Исходная функция распределения у меня константа в пространстве и $\delta$-функция по импульсу. В этом случае можно обойтись без Больцмана. Сила, с которой электрон стучит по плоскости зависит от расстояния, на котором находится электрон: $f=F(h)$. Тогда давление, создаваемое слоем толщиной $\Delta h,$ расположенным на высоте $h$ равно $dP=nS\Delta h F_z(h)/S$ ($nS\Delta h$ это число электронов в объёме $S\Delta h$). Полное давление складывается из давления слоев, поэтому

$$P=n\int\limits_{0}^{2R_\text{циклотронный} }F_z(h)dh.$$

Если Вы хотите интегрировать по $\alpha,$ то $\alpha=\alpha(h)\;\Rightarrow h=h(\alpha)\;\Rightarrow dh=\frac{dh}{d\alpha}d\alpha.$ Других давлений в этой задаче нет. Если Вам не нравится, что все частицы летают в фазе, считайте, что в процессе включения фазы сбиваются. В настоящей задаче сбой фазы обеспечивает механизм столкновений.

В Вашей исходной задаче будет все тоже самое, только сложнее, и, боюсь, Вы с такой задачей не справитесь.

-- 10.03.2017, 05:32 --

Ещё такое пояснение, если это оказалось непонятно. К чёрту Вашу трубку, она Вас только путает. Рассмотрим настоящий бесстолкновительный электронный газ над плоскостью в магнитном поле, параллельном плоскости. Возьмем какой-нибудь электрон, и разложим его скорость на компоненту вдоль и поперек поля. Вдоль поля электрон свободно летит, но с плоскостью столкнуться не может. Поперек он крутится по циклотронной орбите (в моей лавке принято называть орбиту циклотронной, видимо потому, что первый в СССР циклотрон был там построен, и был в рабочем состоянии до последнего времени). То есть все электроны летят по спиралям, ось которых параллельна плоскости. Если электрон до плоскости "не достает", то и давления на нее он не оказывает, и только те электроны, у которых среднее расстояние до плоскости меньше циклотронного радиуса, будут давать вклад в давление на плоскость.