Изучаю ОДУ и ДУ в ЧП первого порядка.
Соответственно какие разделы математики еще нужно знать? Уравнения мат. физики, вариационное исчисление, теория вероятности, мат. статистика, теория случайных процессов, ряды фурье, функциональный анализ, интегральные уравнения, теория групп Ли, еще что-то?
Динамические системы являются продолжением курса обыкновенных дифференциальных уравнений, поэтому сначала надо хорошо разобраться с ними, т.е. как раз вот что Вы написали "ОДУ и ДУ в ЧП первого порядка" (и второго, и высших для ОДУ тоже надо бы), "уравнения мат. физики", "вариационное исчисление". Всё остальное Вам вряд ли сильно пригодится (как минимум сначала).
Также какую литературу можно почитать по динамическим системам?
Почти что угодно со словами "динамические системы", "дифференциальные уравнения" или "эргодическая теория" в названии. Конкретная литература зависит непосредственно от Ваших предполагаемых научных интересов. Если вопрос исключительно об учебном материале, краеугольным камнем тут являются ОДУ, читайте учебники по ним.
Считаете ли вы это направление интересным?
На мой вкус это одна из самых унылых областей математики.
Как по вашему мнению имеется ли в нем перспективные пути для исследования?
Безусловно да. Например, глобальные бифуркации векторных полей на двумерной сфере очень на слуху, кажется, там какую-то содержательную теорию как раз сейчас делают, наверняка есть и другие направления.