Неравенство с абсолютной величиной

[Gagarin1968]

Добрый день.
Мой вопрос из элементарной алгебры. Возможно, он покажется простым, но мучаюсь уже пару дней.
Требуется доказать неравенство $|a-b|\geqslant ||a|-|b||$ .
Я его доказал в лоб. Рассмотрел 2 случая: сначала если $|a|>|b|$, тогда правая часть имеет вид $|a|-|b|$, потом если $|a|<|b|$, тогда справа $|b|-|a|$ .
И внутри каждого из этих двух случаев я рассмотрел по 3 варианта: если числа $a$ и $b$ положительны, если они оба отрицательны и если они разного знака.
То есть рассмотрел всего 6 случаев и в каждом из них доказал требуемое неравенство.
Доказательство получилось на 2 тетрадочных страницы, громоздкое и, как мне кажется грубое и туповатое. Но мне это не нравится. Нет ли более простого и изящного способа. Ведь неравенство не простое, а очень простое. Но я не смог найти. Отчаялся. Помогите.

[Lia]

$|a|=|a-b+b|$ и неравенство треугольника. И то же для другой переменной.

[Brukvalub]

Модуль разности - расстояние между точками, изображающими числа на числовой оси. Если число неотрицательное, то его модуль совпадает с числом, если оно отрицательное, то модуль расположен зеркально с числом относительно нуля. Эти соображения позволяют устно обосновать рассматриваемое неравенство.

[Gagarin1968]

Lia в сообщении #1197787 писал(а):

$|a|=|a-b+b|$ и неравенство треугольника. И то же для другой переменной.

Lia
Не понял. Могли бы Вы расшифровать, как тут прикрутить неравенство треугольника?

[ewert]

Gagarin1968 в сообщении #1197791 писал(а):

как тут прикрутить неравенство треугольника?

$|a-b+b|=|(a-b)+b|\leqslant$

[Gagarin1968]

Ну не понимаю я ваших туманных намёков
В неравенстве треугольника вообще нет знаков \leqslant$ и $\geqslant$. Мне известны следующие неравенства треугольника: $a<b+c$ и $a>b-c$.
И как мне это связать с данным неравенством?

[arseniiv]

Неравенство треугольника — это ещё и $|a \pm b| \leqslant |a| + |b|$. Это получится, если рассмотреть вырожденный треугольник с вершинами—точками $0, a,\mp b$ вещественной прямой.

[Someone]

Gagarin1968 в сообщении #1197811 писал(а):

В неравенстве треугольника вообще нет знаков $\leqslant$ и $\geqslant$.

Это в школьной геометрии нет, потому что по определению треугольника его вершины не могут лежать на одной прямой. А в алгебре рассматривается более общая ситуация, поскольку никаких "треугольников" в алгебре нет, хотя геометрическая аналогия сохраняется: $\lvert a-b\rvert$ — это расстояние между $a$ и $b$; поэтому равенство допускается. Тем более, что в вашем случае $a,b,c$ уж точно лежат на одной прямой.