Связь теории моделей и исчисления высказываний.

[Yorick]

Разбираю доказательство полноты классического исчисления высказываний(ИВ).

Столкнулся с непониманием следующих пунктов:

1) Напрашивается такое утверждение "Для ИВ, в отличие от логики предикатов, Термы(замкнутые), Формулы, Предикаты - коллапсируют в одно понятие."
В чём оно неверно?

2) свойства денотатора.
Среди формул теории $T$ есть формула $\Phi$. В ней всего m переменных.
При подстановке в $\Phi$ формул $A_0$ ... $A_m$ (вместо переменных) - всегда получаем $A_i$. (т.е. Ф - проектор)
Есть $M$ - некоторая модель этой теории.

Денотатор D - функция, сопоставляющая термам валентности $m$ - $m$-арные операции на множестве-носителе M.

Почему $(D\Phi)(x_1, ..., x_m) = x_i$ ? Какие свойства или аксиомы являются причиной такого равенства?

Набросок доказательства:
Докажем индукцией по сложности формулы:
(это одновременно и доказательство и определение денотатора)
a) $\Phi = \varphi$, $\varphi$ - переменная. Валентность $val(\Phi) = 1$. $D\varphi = \mbox{id}$(по определению денотатора?).
б) $\Phi = f^n(t_1,..., t_n)$, где $t_1,..., t_n$ - уже имеют интерпретацию в моделе.
Доказательством из теории множеств определена конкатенация функций. (дизъюнктивное объединение пар доменов и кодоменов )
Композицией полученной функции с интепретацией соответствующей логической связки, получаю операцию - интерпретацию формулы $\Phi$.
Как же теперь доказать, что эта операция - тоже проектор?

Предполагаю, что в данном случае - носитель одной из моделей - это подмножество замыкания Клини над алфавитом из переменных и $m$-местных логических связок (множество корректно сформированных пропозициональных формул).

3) Если я написал слишком много чуши, то что можно почитать на тему теории моделей для исчисления высказываний? ( в просмотренной литературе - обычно сразу для логики предикатов)

[arseniiv]

Yorick в сообщении #1197430 писал(а):

1) Напрашивается такое утверждение "Для ИВ, в отличие от логики предикатов, Термы(замкнутые), Формулы, Предикаты - коллапсируют в одно понятие."
В чём оно неверно?

В том, что в ИВ нет термов. В том, что предикаты — это либо и так формулы, либо и так не формулы в зависимости от того, что вы ими зовёте (в отличие от всегда одинаково значащего термина предикатный символ; если рассматривать ИВ как прикладное исчисление предикатов, будет по нульместному предикатному символу вместо каждой пропозициональной переменной, и больше никаких других символов — ни предикатных (включая $=$), ни функциональных).

[Yorick]

arseniiv в сообщении #1197455 писал(а):

(в отличие от всегда одинаково значащего термина предикатный символ; если рассматривать ИВ как прикладное исчисление предикатов, будет по нульместному предикатному символу вместо каждой пропозициональной переменной, и больше никаких других символов — ни предикатных (включая $=$), ни функциональных).

arseniiv,
да, опечатка: имел в виду предикатные символы, вместо "Предикаты".

Насчет имитации ИВ в терминах логики предикатов:
"больше никаких других символов — ни предикатных (включая $=$), ни функциональных"
Ещё, конечно, забыли n-местные логические связки - тоже будут предикатными символами. Благодарю.

Осталось понять почему, если формула - проектор во "внешней логике", то интерпретация(=семантическая функция=денотатор) её - тоже проектор.

[arseniiv]

Yorick в сообщении #1197593 писал(а):

Ещё, конечно, забыли n-местные логические связки - тоже будут предикатными символами.

Это что за связки такие? И нет, не будут. Предикатные символы будут только нульместные и только вместо пропозициональных переменных. Просто по той причине, что только у этих интерпретация такая же: можно найти интерпретацию языка, где каждый нульместный предикатный символ имеет нужное логическое значение, и интерпретация такого языка задаётся в точности набором всех их значений.

Вот про проекторы пока не вчитывался.