Как решить уравнение параболического типа?

[MrSine]

Желаю всем здравствовать!

Подскажите, пожалуйста, есть ли методы решения уравнений вида
V'_t = V''_{xx} + g(t, x) V
либо
V'_t = V''_{xx} + g(t, x) V'_x
здесь g(t, x) - известная функция, не произвольная, вполне конкретная.
Во всех книжках нахожу только подробный разбор уравнения V'_t = V''_{xx}...

[V.V.]

Дык, напишите, раз конкретная. Возможно, станет легче.

[MrSine]

V.V. писал(а):

Дык, напишите, раз конкретная. Возможно, станет легче.

Точнее такие уравнения:
V'_t = \frac{1}{2} V''_{xx} + \left( \frac{2 y^2(t)-1}{x-y(t)} - \frac{3 y^2(t)}{(x-y(t))^2} \right) V'_x
либо
V'_t = \frac{1}{2} V''_{xx} + \left( \frac{6 y^2(t)-3}{(x-y(t))^2} - \frac{6 y^2(t)}{x-y(t)} \right) V
здесь $y(t)$ неизвестная функция.

[Gafield]

Что значит "методы решения уравнений вида"? Все решения что ли? Какая задача интересует? Коши, краевая или еще какая?

[MrSine]

Интересует задача на $(t, x) \in [0, T] \times \Re$ с начальным условием $V(0, x) = \phi(x)$

[Gafield]

В каком смысле найти решения? Численно? Доказать существование?
Для достаточно гладких коэффициентов есть теоремы о существовании решения по крайней мере. Аналитически не факт, что получится.

Есть всякие справочники. Вот, например:
Линейные уравнения математической физики.
Есть еще "Справочник по точным решениям уравнениям тепло- и массопереноса".

Для начала можно сделать замены $u(x-y(t),t)=v(x,t)$, $w(z,t)=z^2u(z,t)$. Я думаю, уравнение несколько упростится.

Если удастся убрать особенность, то по крайней мере, можно будет утверждать, что решения задачи Коши существуют и сказать что-то об их регулярности.

[MrSine]

Мне не обязательно нужно "точное решение", хотя бы как-то выразить, решить в смысле "решение выглядит так ... , где $f_1(t, x, y(t))$, $f_2(t,x, y(t))$, ... - известные функции, $f_1$ вычисляется по формуле ... , $f_2$ - есть решение уравнения ... и т.д."
Т.е. не численное решение, а "вид/структура решения на бумаге".

[Gafield]

Ну, тогда можно попробовать написать уравнение для $w(z)$. Если оно будет без особенностей, то можно будет поискать замены, исходя из вида того, что получится или в справочниках.

Еще способ действий - на простых примерах понять, чего можно ожидать. Скажем, поискать решения для них. Будет ли решение гладкое или хотя бы с явной особенностью? Что даст замена $w(x)=x^2v(x)$ при $y\equiv0$?