Эквивалентность дифференциала и приращения функции при базе

[jdex]

Доброго времени суток всем! Изучаю математику и столкнулся со следующей задачей (ниже укажу сам задачник):

Цитата:

Для функций а) $f(x) = x^{n}$ и б) $\varphi (x) = \sin{x}$ найти значение аргумента $x$, при котором дифференциалы этих функций не являются эквивалентными их приращениям при $\Delta x \to 0$.

Ответы в задачнике: а) $0$ и б) $\pi \slash2+ k\pi$

Вопрос следующий: правильные ли ответы?

У меня не получается для данных значений доказать, что приращение функции и дифференциал не являются эквивалентными при $\Delta x \to 0$:
согласно одному из обозначений эквивалентности, дифференциал и приращение функции будут такими при $\Delta x \to 0$, если
$\Delta y = dy + o(dy)$, при $\Delta x \to 0$.

Поскольку $dy = f'(x)\Delta x$ и мы имеем дело с конечными производными для всех $x$ из области определения, то $f'(x)\Delta x$ и $\Delta x$ величины одного порядка и мы можем написать:
$\Delta y = f'(x)\Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0$ (что фактически является определением дифференцируемости функции).

Теперь перейдем к примерам из задачи.

а) $(x + \Delta x)^{n} - x^{n} = n \cdot x^{n-1}\Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0$
при $x = 0$:
$(\Delta x)^{n} = o(\Delta x), \Delta x \to 0$
Последнее соотношение справедливо, поскольку $(\Delta x)^{n}$ есть бесконечно малая более высокого порядка, чем $\Delta x$, и получается, что дифференциал и приращение эквивалентны для $x=0, \Delta x \to 0$.

б) $\sin{(x + \Delta x)} - \sin{(x)} = \cos{(x)} \cdot \Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0$
$2 \cdot \sin{(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} \cdot \cos{(x+\frac{ \Delta x }{ 2 })} = \cos{(x)} \cdot \Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0$
Положим $x = \frac{ \pi }{ 2 }$, тогда:
$- 2 \cdot \sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} = o(\Delta x), \Delta x \to 0$
Поскольку $\sin^{2} {(\frac{ \Delta x }{ 2 } )} \sim (\frac{ \Delta x }{ 2 } )^{2}, \Delta x \to 0$, то
$( \Delta x )^{2} = - 2 \cdot o(\Delta x) = o(\Delta x), \Delta x \to 0$
И вновь последнее выражение справедливо, то есть дифференциал и приращение эквивалентны для $\pi \slash 2, \Delta x \to 0$.

Помогите, пожалуйста. Или я где-то ошибаюсь, или неправильно понял условия задачи, либо еще какие-то варианты.

Задачник:
Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С.,М.: Физматлит, 2001-2003;
Том 2, задача 6.281

[Pphantom]

Ответы правильные.

Собственно, задачу куда проще понять, если вспомнить, что дифференциал - линейная часть приращения функции. Какой эта линейная часть должна быть для того, чтобы поведение приращения для $\Delta x \to 0$ определялось не ей, как Вы думаете?

[Xaositect]

jdex в сообщении #1197170 писал(а):

то $f'(x)\Delta x$ и $\Delta x$ величины одного порядка

Это верно не для всех значений $f'(x)$. Есть одно специальное значение :)

[jdex]

Спасибо всем! Понял, в чем моя ошибка.
Речь идет о $f'(x) = 0$. Расчеты у меня правильные, а вот выводы неправильные. Из того, что приращение функции есть величина бесконечно малая высшего порядка, чем приращение аргумента (что фактически у меня и получилось), следует, что приращение функции и дифференциал не есть эквивалентные функции (по $\Delta x$) при $\Delta x \to 0$. Необходимо, чтобы они (приращение функции и аргумента) были величинами одного порядка для эквивалентности приращения функции и дифференциала.

[Pphantom]

Именно. После этого исходная задача решается в уме.