Об интегрировании прообраза Фурье с "запутанными" весами

[Math_er]

Доброго времени суток.

Рассмотрим функцию $F:\mathbb{R}^k \to \mathbb{R},$ которую мы представим в следующем виде (по сути это обратное преобразование Фурье, где $\eta:\mathbb{R}^k \to \mathbb{C}$ - прообраз Фурье функции $F(x_1,...,x_k)e^{x_1+...+x_k}$):

$$F(x)=\int_{\mathbb{R}^k}\eta(s) e^{-\sum_{j=1}^k(1+is_j)x_j} ds,$$

где $s=(s_1,...,s_k).$

Теперь допустим мне нужно вычислить следующий интеграл:

$$\int_{\mathbb{R}^k}\int_{\mathbb{R}^k}\eta(s)\eta(s') \prod_{j=1}^k\frac{(1+is_j)(1+is'_j)}{2+is_j+is'_j}dsds'$$

Его достаточно легко выразить через исходную функцию $F$, заметив, что

$$\frac{\partial^k}{\partial x_1...\partial x_k}F(x)=\int_{\mathbb{R}^k}\eta(s)\prod_{j=1}^k(1+is_j) e^{-\sum_{j=1}^k(1+is_j)x_j} ds,$$

и далее:

$$\int_{[0;+\infty]^k}\left(\frac{\partial^k}{\partial x_1...\partial x_k}F(x)\right)^2 dx=\int_{\mathbb{R}^k}\int_{\mathbb{R}^k}\eta(s)\eta(s') \prod_{j=1}^k (1+is_j)(1+is'_j)\left(\int_{[0;+\infty]^k} e^{-\sum_{j=1}^k (2+is_j+is'_j)}\right) dsds'.$$

Ну и после интегрирования экспоненты, получаем то, что нужно.

Вопрос состоит в следующем: а как поступать в случае, если переменные запутаны сильнее, как, например, в таком интеграле:

$$\int_{\mathbb{R}^k}\int_{\mathbb{R}^k}\int_{\mathbb{R}^k}\eta(s)\eta(s')\eta(s'')\prod_{j=1}^k\frac{(1+is_j)(1+is'_j)(1+is''_j)}{(2+is_j+is'_j)(2+is_j+is''_j)(2+is'_j+2+is''_j)} dsds'ds''$$

Такой же трюк тут не срабатывает. И всё же, выразить его можно, но приходиться вводить много дополнительных переменных, и по всем потом интегрировать. Наверно, это было бы ничего страшного, если бы у меня функция была без дополнительных ограничений на носитель...

Нельзя ли обойтись только одним интегрированием по $x$? И, самое интересное, подстановка прямого преобразования Фурье в интеграл, видимо, ничего не даёт. Хотя, казалось бы, должно иметь место и решение "в лоб".

Заранее спасибо.