Нелинейное уравнение, напоминающее ур-е теплопроводности

[VanD]

Добрый день!

Скажите пожалуйста, не встречали ли Вы какую-нибудь теорию по уравнению
$\dfrac{\partial u}{\partial t} = u^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
и имеет ли оно какое-нибудь отношение к физике, например?

[Ms-dos4]

VanD
Учитывая, что его можно привести к виду $\[\frac{{\partial v}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial x}}(\frac{1}{{{v^2}}}\frac{{\partial v}}{{\partial x}})\]$, то с физической точки зрения мы имеем диффузию/теплопроводность с переменным коэф. диффузии. Само решение такого уравнения можно свести к решению линейного параболического уравнения.

[Pphantom]

VanD в сообщении #1195969 писал(а):

и имеет ли оно какое-нибудь отношение к физике, например?

В принципе, степенная зависимость коэффициента теплопроводности от температуры - явление обычное. Конкретно $-2$ степень (правда, это уже про уравнение из сообщения Ms-dos4) получается, если не ошибаюсь, у металлов при достаточно высоких температурах.

[Red_Herring]

Вообще-то "правильное" уравнение в дивергентной форме, как у Ms-dos4

Насколько мне известно подобные уравнения с положительными степенями встречаются в теории фильтрации. Особенно вроде бы интересно $u_t= (uu_x)_x$

Можно найти авдомодельные решения

[Pphantom]

Red_Herring в сообщении #1196015 писал(а):

Насколько мне известно подобные уравнения с положительными степенями встречаются в теории фильтрации. Особенно вроде бы интересно $u_t= (uu_x)_x$

С положительными степенями они много где встречаются. А вот отрицательная степень - штука куда менее распространенная.

[пианист]

Bluman & Kumei, которые, как я понимаю, первыми это уравнение расковыряли https://www.math.ubc.ca/~bluman/JMP1980.pdf, пишут, что модельное уравнение для диффузии в полимерах, там есть дальнейшие ссылки.

[Red_Herring]

пианист в сообщении #1196029 писал(а):

это уравнение

Какое "это"? С $C(u)=u$ это рассматривали заведомо раньше, чем в 1979.

[пианист]

Red_Herring в сообщении #1196044 писал(а):

Какое "это"?

Уравнение VanD, которое, как совершенно правильно заметил Ms-dos4, приводится ($v = u^{-1}$) к уравнению нелинейной диффузии $\[\frac{{\partial v}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial x}}(\frac{1}{{{v^2}}}\frac{{\partial v}}{{\partial x}})\]$, которое, в свою очередь, может быть приведено несколько более хитрой заменой к обычному уравнению диффузии. Насколько мне известно, эту линеаризацию первыми как раз и нашли Блюман с Кумеем.
Кто-то это сделал раньше?

Red_Herring в сообщении #1196044 писал(а):

С $C(u)=u$ это рассматривали заведомо раньше, чем в 1979

$C(u)$ коэффициент диффузии? А что хорошего происходило с $u_t= (uu_x)_x$?

[Red_Herring]

пианист в сообщении #1196052 писал(а):

$C(u)$ коэффициент диффузии? А что хорошего происходило с $u_t= (uu_x)_x$?

Ну, например, нашли автомодельное решение, сохраняющее $\int u(x,t)\,dx$. Я когда в начале 70х вел практические занятия по УМФ за Годуновым, рассматривал его на занятиях.

[VanD]

Ms-dos4, Pphantom, Red_Herring, пианист, спасибо, это то что надо!)