Задачка с окружностями

[Rusit8800]

Две окружности $S_1$ и $S_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводят произвольную прямую, пересекающую второй раз окружности $S_1$ и $S_2$ в точках $M_1$ и $M_2$. Пусть касательные в точках $M_1$ и $M_2$ пересекаются в точке $N$. Проведем через центры $O_1$ и $O_2$ окружностей $S_1$ и $S_2$ прямые, параллельные $M_1N$ и $M_2N$ соответственно и обозначим их общую точку за $J$. Докажите, что $J,N,B$ коллинеарны и что длина отрезка $JN$ постоянна.

[Sergic Primazon]

Rusit8800 в сообщении #1183472 писал(а):

Две окружности $S_1$ и $S_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводят произвольную прямую, пересекающую второй раз окружности $S_1$ и $S_2$ в точках $M_1$ и $M_2$. Пусть касательные в точках $M_1$ и $M_2$ пересекаются в точке $N$. Проведем через центры $O_1$ и $O_2$ окружностей $S_1$ и $S_2$ прямые, параллельные $M_1N$ и $M_2N$ соответственно и обозначим их общую точку за $J$. Докажите, что $J,N,B$ коллинеарны и что длина отрезка $JN$ постоянна.

$O_1J \parallel M_1N_1\ ,\ O_2J \parallel M_2N$

$M_1O_1 \perp M_1N_1 \ ,\ M_2O_2 \perp M_2N$

$\ M_1 ,\ N ,\ M_2 , \ B , \ Z \in \omega_1 \ ;\ \ O_1 ,\ J ,\ O_2 , \ B , \ Z \in \omega_2 $

$\angle NBM_2=\angle NM_1M_2=\beta \ , \ \angle JBM_2 = \angle JBO_2 +\alpha= \beta \Rightarrow B,J,N\ -\ $ коллинеарны.


$\angle ZNB = \alpha\ ,\ \angle ZJB = \angle ZO_2B=2\alpha \Rightarrow ZJ=JN$

$\angle ZO_1J = 90^0 \Rightarrow JN=ZJ \ -\ $ диаметр $\omega 2.$

[Dimoniada]

Катнём, господа, окружности до точки пересечения их касательных. Может это авторское решение (хотя где-то подобное построение встречалось как и задача ?


Сразу видно, что $JN$ - диаметр окружности $\omega (O'_1NO'_2)$ (угол между окружностями остался прежним, см. далее).
Осталось показать, что $B, J, N$ коллинеарны. Равенство красных треугольников видно по 2-ому признаку (единственная сложность - показать равенство углов при вершинах, каждый из них равен сумме отмеченных углов - $\angle NM_1M_2 + \angle NM_2M_1$).
После равенства треугольников видно, что четырёхугольники $O_1BO_2 J$ и $O'_1NO'_2 J$ вписанные. Откуда $\angle O_1JB = \angle O'_1JN$ или $(B, J, N)$ - прямая.