Терминология в топологии и теории метрических пространств

[ewert]

Someone в сообщении #1159117 писал(а):

(кавычки мои)

А зачем кавычки, если путём называется отображение? Кстати, называется общепринято: даже если параметризация как таковая и не очень нужна, путь -- он всё-таки ориентированный.

[Anton_Peplov]

Спасибо.

[Someone]

ewert в сообщении #1159126 писал(а):

А зачем кавычки

Потому что я имею в виду слово как термин (имя понятия), а не обозначаемое им понятие. В то время как сам Anton_Peplov имел в виду понятие.

[Duelist]

Я недавно в анализе столкнулся со счётно-компактными пространствами и с двух раз не угадал определение. Подумал, что это то ли компактное пространство со счётной базой, то ли это когда из всякого открытого покрытия можно выбрать счётное подпокрытие (кстати, счётной базы достаточно, чтобы можно было выбрать счётное подпокрытие). Оказалось, что это когда из всякого счётного открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие. Ну понятно, да: пр-во компактное, но не совсем, а лишь до некторой (счётной) степени.
Это в Колмогорове-Фомине для док-ва теоремы о том, что, чтобы метрическое пр-во было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным и полным. Для подмн-ва $\mathbb{R}^n$ в аналогичной теореме эквивалент вполне ограниченности - ограниченность, а полноты - замкнутость.

(Оффтоп)

Подумалось ещё, что секвенциально компактное пр-во можно было бы назвать вполне полным.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

"Вполне полное" хорошо звучит. Еще лучше было бы "компактно компактное".

[Anton_Peplov]

Новый вопрос.

Называются ли как-то пространства, в которых у каждой точки найдется линейно связная окрестность? Это менее жесткое условие, чем локальная линейная связность, которая требует, чтобы у каждой точки нашлась сколь угодно малая линейно связная окрестность (т.е. в каждой окрестности точки нашлась линейно связная подокрестность).

[Munin]

У меня подозрение, что всё пространство тоже является окрестностью к любой точке...

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1195803 писал(а):

У меня подозрение, что всё пространство тоже является окрестностью к любой точке...

Но пространство не обязано быть линейно связным, и интересны как раз пространства, которые сами не являются линейно связными, но удовлетворяют указанному условию.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1195807 писал(а):

интересны как раз пространства, которые сами не являются линейно связными, но удовлетворяют указанному условию

Именно. Для них есть несколько интересных теорем (например, компоненты линейной связности открыты).

[Munin]

А. Ок. Недодоумал.

[Anton_Peplov]

Новый вопрос.

Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов на с. 128 писал(а):

Если $S$ и $T$ - разбиения множеств $X$ и $Y$, то всякому отображению $f: X \to Y$, переводящему элементы разбиения $S$ в элементы разбиения $T$, отвечает отображение $X/S \to Y/T$, относящее элементу $A$ разбиения $S$ элемент разбиения $T$, содержащий $f(A)$. Это отображение обозначается через $f/(S, T)$ и называется факторотображением отображения $f$ (по разбиениям $S$ и $T$).

Я не понял, что тут все-таки требуется от функции $f$ - чтобы для любого $A \in X/S$ выполнялось $f(A) \in Y/T$ (так вроде бы читается "переводящему элементы разбиения $S$ в элементы разбиения $T$")? Но тогда почему "элемент разбиения $T$, содержащий $f(A)$", а не "равный $f(A)$"? Или достаточно, чтобы $f(A)$ пересекался строго с одним элементом $Y/T$? Тогда понятно, почему "содержащий", но непонятно, почему " переводящему элементы разбиения $S$ в элементы разбиения $T$". Ерунда какая-то. Они мне ниже какие-то теоремы предлагают доказывать самостоятельно, а я определение понять не могу. Из разряда "иногда лучше жевать писать формулы, чем говорить".

Пробовал подсмотреть в несколько других учебников, но там факторотображением называют просто функцию $p: X \to X/S$ такую, что $x \in p(x)$, т.е. проекцию.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1235191 писал(а):

Или достаточно, чтобы $f(A)$ пересекался строго с одним элементом $Y/T$?

По логике вещей должно быть так. Видимо, они на время перепутали элементы разбиения с эквивалентными по этим разбиениям элементами самих $X, Y$.

-- Пт июл 21, 2017 21:52:21 --

Это можно переформулировать так. Пусть $S$ — разбиение $X$; определим соответствующее ему отношение эквивалентности ${\sim_S}\subset X^2$ соотношением $x_1\sim_S x_2\Leftrightarrow \exists\sigma\in S\;(\{x_1,x_2\}\subset\sigma)$ (всё как обычно: эквивалентны, если принадлежат одному блоку разбиения). Назовём $f\colon X\to Y$ совместимой с отношениями эквивалентности ${\sim},{\sim'}$ на $X, Y$ соотв., если она «уважает» эквивалентность: $x_1\sim x_2\Rightarrow f(x_1)\sim' f(x_2)$. (∗)

Ровно в случае такой совместимости (∗∗) существует функция $g\colon X/{\sim}\to Y/{\sim'}$ такая, что $g\circ[]_\sim = []_{\sim'}\circ f$, где $[]_\sim\colon X\to X/{\sim}$, $[x]_\sim = \{x'\in X : x\sim x'\}$ — каноническая проекция. Вот её и назовём $f/({\sim},{\sim'})$ или $f/(S,T)$, где $S, T$ — разбиения на соответствующие классы эквивалентности.

(∗) Вполне в духе алгебры: определим алгебраические системы, состоящие из множества и отношения эквивалентности на нём — тогда совместимые $f$ будут морфизмами между такими объектами.
(∗∗) Лучше, конечно, проверить это — вдруг я что-то упустил.

-- Пт июл 21, 2017 21:56:12 --

arseniiv в сообщении #1235193 писал(а):

$x_1\sim x_2\Rightarrow f(x_1)\sim' f(x_2)$

Из этого, конечно, легко видеть, что требуется действительно только включение образа класса в класс, а не обязательно равенство.

[Anton_Peplov]

Новый вопрос.

Хаусдорфовой производной от множеств $A, B$ называется функция $H(A, B) = ([A] \cap B) \cup ([B] \cap A)$. Конечно, здесь можно усмотреть поверхностное синтаксическое сходство с формулой для производной произведения. Но нет ли более глубоких причин, по которым эта функция называется производной?

[Someone]

Собственно, термин "производное нечто" означает, что это "нечто" "произведено" от чего-то другого, что мы считаем первичным.