Еще одна энергетическая задача на поиск мощности

[Rusit8800]

Задача: При движении автомобиля на подъеме с углом наклона поверхности дороги к горизонту $\[\beta \]$ ($\[\sin \beta = 0.03\]$) у него устанавливается скорость $v$ при полезной мощности $N$. При движении по горизонтальной плоскости у него устанавливается скорость $\[\frac{3}{2}v\]$ при той же полезной мощности. Какую мощность $N_x$ будет развивать автомобиль при спуске с углом наклона $\[\gamma \]$ ($\[\sin \gamma = 0.04\]$) при скорости $2v$. Сила сопротивления автомобилю пропорциональна квадрату его скорости.
Решение задачи получилось достаточно громоздким, вследствие чего и ответ вышел таким же. Значит в решении где-то определенно скрывается ошибка, хоть я ее и не нашел.Ах, да, ответ не зависит от $v$.
Решение:

Рассмотрим первый случай. На тело действуют сила реакции опоры $\[\overrightarrow {{N_1}} \]$, сила сопротивления $\[\overrightarrow {{F_{c1}}} \]$, сила авто $\[\overrightarrow {{F_1}} \]$,сила тяжести $\[m\overrightarrow g \]$.Так как авто движется с постоянной скоростью, то имеем

$$\[\overrightarrow {{N_1}} + \overrightarrow {{F_{c1}}} + m\overrightarrow g + \overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow 0 \]$$

Спроецируем на ось $Oy$:

$$\[\begin{gathered} {N_1}\cos \beta + {F_1}\sin \beta - mg - {F_{c1}}\sin \beta = 0 \hfill \\ {N_1}\cot \beta + {F_1} - \frac{{mg}}{{\sin \beta }} - {F_{c1}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]$$

$Ox$:

$$\[\begin{gathered} {F_1}\cos \beta - {F_{c1}}\cos \beta - {N_1}\sin \beta = 0 \hfill \\ {F_1} - {F_{c1}} - {N_1}\tan \beta = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Итак, имеем систему:

$$\[\left\{ \begin{gathered} {N_1}\cot \beta + {F_1} - \frac{{mg}}{{\sin \beta }} - {F_{c1}} = 0 \hfill \\ {F_1} - {F_{c1}} - {N_1}\tan \beta = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

$$\[\left\{ \begin{gathered} {N_1}\cot \beta + {F_1} - \frac{{mg}}{{\sin \beta }} - {F_{c1}} = 0 \hfill \\ {N_1} = ({F_1} - {F_{c1}})\cot \beta \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \]$$

$$\[({F_1} - {F_{c1}}){\cot ^2}\beta + {F_1} - \frac{{mg}}{{\sin \beta }} - {F_{c1}} = 0\ (1)$$

$$\[m = \frac{{\sin \beta }}{g}({F_1} - {F_{c1}})(co{t^2} + 1) = \frac{{{F_1} - {F_{c1}}}}{{g\sin \beta }}\]$$

Так как $\[{F_1} = \frac{N}{v},{F_{c1}} = \alpha {v^2}\]$,то $\[m = \frac{{\frac{N}{v} - \alpha {v^2}}}{{g\sin \beta }}\]$.
Теперь рассмотрим 2 случай, когда тело движется по горизонтальной плоскости. Так как тело движется с постоянной скоростью, то

$$\[\overrightarrow {{N_2}} + \overrightarrow {{F_{c2}}} + m\vec g + \overrightarrow {{F_2}} = \vec 0{\text{ }}\]$$

Достаточно ограничится проекцией на $Ox$:

$$\[\begin{gathered} {F_{c2}} = {F_2} \hfill \\ \frac{N}{{\frac{3}{2}v}} = \alpha {\left( {\frac{3}{2}v} \right)^2} \hfill \\ \frac{{2N}}{{3v}} = \frac{9}{4}\alpha {v^2} \hfill \\ \alpha = \frac{{8N}}{{27{v^3}}} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Теперь рассмотрим 3 случай. Для этого достаточно переделать уравнение (1) так:

$$\[({F_{c3}} - {F_x}){\cot ^2}(360^\circ - \gamma ) + {F_{c3}} - {F_x} - \frac{{mg}}{{\sin (360^\circ - \gamma )}} = 0\]$$

где $\[{F_x} = \frac{{{N_x}}}{{2v}},{F_{c3}} = \alpha {(2v)^2} = 4\alpha {v^2}\]$

$$\[\left( {4\alpha {v^2} - \frac{{{N_x}}}{{2v}}} \right){\cot ^2}\gamma + 4\alpha {v^2} - {\frac{{{N_x}}}{{2v}}_x} + \frac{{mg}}{{\sin \gamma }} = 0\]$$

$$\[\left( {4\alpha {v^2} - \frac{{{N_x}}}{{2v}}} \right)({\cot ^2}\gamma + 1) + \frac{{mg}}{{\sin \gamma }} = 0\]$$

$$\[\frac{{mg}}{{\sin \gamma ({{\cot }^2}\gamma + 1)}} = \frac{{{N_x}}}{{2v}} - 4\alpha {v^2}\]$$

$$\[mg\sin \gamma = \frac{{{N_x}}}{{2v}} - 4\alpha {v^2}\]$$

$$\[\begin{gathered} {N_x} = 2v(mg\sin \gamma + 4\alpha {v^2}) = 2v\left( {\frac{{\frac{N}{v} - \alpha {v^2}}}{{g\sin \beta }} \cdot g\sin \gamma + 4\alpha {v^2}} \right) = 2v\left( {\left( {\frac{N}{v} - {v^2} \cdot \frac{{8N}}{{27{v^3}}}} \right) \cdot \frac{{\sin \gamma }}{{\sin \beta }} + 4{v^2} \cdot \frac{{8N}}{{27{v^3}}}} \right) = \hfill \\ 2v\left( {\left( {\frac{N}{v} - \frac{{8N}}{{27v}}} \right) \cdot \frac{{\sin \gamma }}{{\sin \beta }} + \cdot \frac{{32N}}{{27v}}} \right) = 2v\frac{N}{v}\left( {\frac{{19\sin \gamma }}{{27\sin \beta }} + \frac{{32}}{{17}}} \right) = 2N\left( {\frac{{19\sin \gamma }}{{27\sin \beta }} + \frac{{32}}{{17}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]$$

-- 24.02.2017, 22:47 --

Эта мощность в несколько раз больше $N$, что очень странно.

-- 24.02.2017, 22:47 --

Надеюсь, ошибка в конце.

[AnatolyBa]

Очень много лишнего. Надо рассуждать иначе. На что расходуется мощность?
Во-первых, на преодоление силы сопротивления. По условию она пропорциональна квадрату скорости, т. е. эта компонента мощности пропорциональна кубу скорости. Во-вторых, мощность расходуется на подъем, если есть подъем. Эта компонента пропорциональна вертикальной компоненте скорости, т. е. произведению синуса угла наклона на скорость. В случае спуска эта величина отрицательна, т. е. она вычитается из мощности затрачиваемой на преодоление силы сопротивления

[Rusit8800]

Но ведь есть еще сила тяжести и сила реакции опоры.

[AnatolyBa]

Сила реакции опоры перпендикулярна направлению движения и в балансе мощностей не участвует.
Про силу тяжести я писал (не называя ее по имени), когда упоминал о мощности расходуемой на подъем

-- 25.02.2017, 11:12 --

И, кстати, у вас две ошибки. Описка 27->17 в последней строчке. И знак при $\sin \gamma$ в предпоследней.
Но, повторяю, если рассматривать баланс мощностей, задача решается в две строчки

[Rusit8800]

AnatolyBa в сообщении #1195234 писал(а):

баланс мощностей

Я,честно, не знаком с понятием. Вроде с током связано, хотя я и в электротехнике не знаю точно что это.

-- 25.02.2017, 20:08 --

AnatolyBa в сообщении #1195234 писал(а):

И знак при $\sin \gamma$ в предпоследней

Разве минус?

[AnatolyBa]

Rusit8800 в сообщении #1195336 писал(а):

Я,честно, не знаком с понятием. Вроде с током связано, хотя я и в электротехнике не знаю точно что это.

Не надо электротехники. Это механика. С каким понятием вы не знакомы? Вы же вычисляете мощность, значит должны быть знакомы.
Баланс мощностей - это, в сущности, закон сохранения энергии. Поскольку энергия нигде не накапливается, то мощность двигателя расходуется на преодоление силы сопротивления - в первом случае $A v^3$, во втором $A (\frac{3}{2} v)^3$, в третьем $A (2 v)^3$. $A$ - коэффициент о котором надо только знать, что он постоянен для всех случаев. Далее, на преодоление силы тяжести в первом случае надо затратить $B v \sin \beta$ , во втором случае ничего не надо тратить, в третьем случае сила тяжести нам помогает, т. е. надо вычесть $B 2 v \sin \gamma$ из того, что приходится тратить на преодоление силы сопротивления . Опять же о коэффициенте $B$ тоже надо знать, что он постоянен.

Rusit8800 в сообщении #1195336 писал(а):

Разве минус?

А как вы выбираете знак?
И еще - нехорошо разные вещи обозначать одинаково ($N$)

[Rusit8800]

AnatolyBa в сообщении #1195350 писал(а):

И еще - нехорошо разные вещи обозначать одинаково ($N$)

Какие именно?

AnatolyBa в сообщении #1195350 писал(а):

А как вы выбираете знак?

В смысле?

[AnatolyBa]

Rusit8800 в сообщении #1195461 писал(а):

Какие именно?

Силу и мощность.

Rusit8800 в сообщении #1195461 писал(а):

В смысле?

Я написал, что у вас ошибка в знаке в предпоследней строчке. Я исходил из ответа (который получил коротким методом) и не проверял все выкладки. Возможно, ошибка вкралась раньше, возможно ошибся я.
Вы усомнились в моем замечании, я спросил, откуда у вас знак. Вот в этом смысле.
Я рекомендую или последовать моему предложению касательно короткого решения, или проверить выкладки в предположении, что ошибка в знаке все же у вас

[Rusit8800]

AnatolyBa в сообщении #1195510 писал(а):

Силу и мощность.

А я с индексами писал силу реакции опоры.

-- 26.02.2017, 21:12 --

Мда, ошибку не видать...

-- 26.02.2017, 21:14 --

Ах, нет нашел, в выражении

$$\[({F_{c3}} - {F_x}){\cot ^2}(360^\circ - \gamma ) + {F_{c3}} - {F_x} - \frac{{mg}}{{\sin (360^\circ - \gamma )}} = 0\]$$

$F_{c3}$ и ${F_x}$ нужно поменять местами.

-- 26.02.2017, 21:17 --
Похоже ответ вот такой:

$$\[\frac{2}{{27}}N\left( {32 - 19\frac{{\sin \gamma }}{{\sin \beta }}} \right){\text{ }}\]$$

[AnatolyBa]

Кто ж на индексы внимательно смотрит, тем более искомая мощность у вас тоже $N_x$ с индексом.
Ответ правильный, но мы же здесь не ради ответа (по крайней мере я). Если вы будете хорошо понимать физическую сущность задачи, то и решения будут экономные и с меньшей вероятностью ошибки.
Вот мое решение (все пояснения я уже привел)
$N_1=N=A v^3 + B v \sin \beta$

$N_2=N=A (\frac{3}{2}v)^3$

$A v^3= N(\frac{2}{3})^3=N\frac{8}{27}$

$B v = (N - A v^3)/\sin \beta = \frac{19}{27}N/\sin \beta$

$N_3= A (2v)^3 - B 2 v \sin \gamma=\frac{64}{27}N - \frac{38}{27} N\sin \gamma /\sin \beta$

[Rusit8800]

А почему скорость в кубе?

-- 27.02.2017, 21:23 --

AnatolyBa в сообщении #1195678 писал(а):

$A v^3= N(\frac{2}{3})^3=N\frac{8}{27}$

$B v = (N - A v^3)/\sin \beta = \frac{19}{27}N/\sin \beta$

Непонятно только это.

[AnatolyBa]

Rusit8800 в сообщении #1195827 писал(а):

А почему скорость в кубе?

По условию сила сопротивлениы пропорциональна квадрату скорости. Мощность пропорциональна произведению силы на скорость