Тройной маятник с двумя степенями свободы

[fred1996]

В физике, как и в жизни, каждый решает свою задачу.
Зачастую основная сложность не в том, как решить задачу, а в том, чтобы задачи совпали хотя бы у одной пары физиков.

[Erleker]

(Оффтоп)

[amon]

fred1996 в сообщении #1195089 писал(а):

Понятно, вы уже играете с массами и длинами стержней. А если все массы одинаковы и стержни тоже?

Не, не играю. Массы и длины равны единице. Давайте рассмотрим случай когда точки крепления совпали.

Вложение:

Triangle.png

Тогда чтобы опустить средний груз надо поднять два крайних на ту же высоту, что энергетически не выгодно. С другой стороны с какого то момента (достаточно большой высоты подъёма среднего груза) подъём среднего груза приведет к линейному росту энергии среднего груза и малому изменению (квадратичного по подъёму среднего) крайних. Значит между этими ситуациями лежит точка равновесия. Это не глобальный, а локальный минимум потенциала.

[fred1996]

Хорошо. Убедили. В детстве с вешалками не играл, но что-то похожее тоже из детства помню.
Только не помню что.
То есть такая конструкция возможна, когда точки крепления достаточно близко и в цепи только три массы, что обеспечивает известную жесткость конструкции.
Остается выяснить, для какого максимального расстояния между точками крепления возможно такое равновесие.
И еще интересен вопрос.
Пока мы говорим о равновесии только в одной плоскости.
А давайте сделаем не двухлистник, а трехлистник.
То есть добавим еще одну точку подвеса и два звена.
Поместим три точки подвеса в вершины небольшого равностороннего треугольника. Опустим по одному звену с одинаковыми массами на конце, а потом еще опуситм по три звена, соединенные вторыми концами вместе посередине с одной масой на конце.
Такая конструкция похоже будет совсем устойчива.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1195210 писал(а):

Остается выяснить, для какого максимального расстояния между точками крепления возможно такое равновесие.

Одно необходимое условие равновесия мы знаем из предыдущего обсуждения: отношение тангенсов углов наклона стержней должно быть равно трём.

[realeugene]

amon в сообщении #1195179 писал(а):

Не, не играю. Массы и длины равны единице. Давайте рассмотрим случай когда точки крепления совпали.Вложение:
Triangle.png

Если немного подумать, то очевидно, что у вас на рисунке длины тяг разные, как гипотенузы двух различных прямоугольных треугольников с совпадающей одной боковой стороной.

[fred1996]

realeugene в сообщении #1195220 писал(а):

amon в сообщении #1195179 писал(а):

Не, не играю. Массы и длины равны единице. Давайте рассмотрим случай когда точки крепления совпали.Вложение:
Triangle.png

Если немного подумать, то очевидно, что у вас на рисунке длины тяг разные, как гипотенузы двух различных прямоугольных треугольников с совпадающей одной боковой стороной.

Просто рисунок неудачный. А мысля верная.

-- 24.02.2017, 21:59 --

realeugene в сообщении #1195216 писал(а):

fred1996 в сообщении #1195210 писал(а):

Остается выяснить, для какого максимального расстояния между точками крепления возможно такое равновесие.

Одно необходимое условие равновесия мы знаем из предыдущего обсуждения: отношение тангенсов углов наклона стержней должно быть равно трём.

Вот для этого устовия есть два решения. Одно дает устойчивое равновесие, другое неустойчивое. А вот кагда они совпадают, это и даст критическую дистанцию.

[realeugene]

fred1996 в сообщении #1195221 писал(а):

Просто рисунок неудачный. А мысля верная.

Нет. Для равной длины тяг и свободно вращающихся шарниров нулевое расстояние тоже неустойчивое положение.

[amon]

fred1996 в сообщении #1195210 писал(а):

Остается выяснить, для какого максимального расстояния между точками крепления возможно такое равновесие.

У меня получается уравнение четвертой степени. То есть аналитическое решение написать можно, но ответ некрасивый.

-- 25.02.2017, 12:31 --

А нет, вроде как раз для критического расстояния все должно красиво получиться (пока все делалось в уме, посему ни за что не ручаюсь, если вечером доберусь до бумаги, то проверю и, может, напишу).

[fred1996]

Да. Для критического расстояния в критической точке потенциал ведет себя как $\alpha^3$

[amon]

Не, соврал. Красиво не получается. Надо найти при каких $d$ у потенциала $U(h)=h-3\sqrt{1-\left(\sqrt{1-h^2}-d\right)^2}$ минимум сливается с максимумом на отрезке $h\in[0,1]$. Выглядит это так:

Вложение:

chainU.PNG

Кроме всяких там Кардано у меня ничего не получилось.

-- 25.02.2017, 22:54 --

Да, забыл сказать. $d$ это половина расстояния между точками крепления связей, а $h$ - высота подъёма среднего шарика, отсчитанная вверх от линии, соединяющей два крайних.

[realeugene]

Критическое расстояние между точками подвеса

$$\frac{6}{\sqrt{9+\sqrt[3]9\left(\sqrt[3]9+1\right)}}-\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt[3]9\left(\sqrt[3]9+1\right)}}\approx 0.7937$$

PS Решение вполне под силу старшекласснику.

[fred1996]

Чито-то верится с трудом.

Вот мои уравнения:

1. d+$\sin\varphi=\sin\psi$
Это жесткая связь $\varphi$ и $\psi$, позволяющая считать все производные $\psi$ по $\varphi$
2. $\tg(\psi)=3\tg(\varphi)$
Это уравнение равновесия.
3. $P=0.5(\cos\psi-3\cos\varphi)$
Это потенциальная энергия

Нужно приравнять первую и вторую производную этой энергии по $\varphi$ нулю с учетом уравнения 1., дающего жесткую связь углов.

Результат получается не для старшеклассника.

Сдается мне, вы где-то срезали не по правилам.

[realeugene]

(Оффтоп)

Хе-хе...

[realeugene]

Недоупрощал немного. Вот так красивее:

$$2\frac{\sqrt{3^2+3^3\sqrt[3]3+3^2\sqrt[3]{3^2}}-\sqrt{3^2+3\sqrt[3]3+\sqrt[3]{3^2}}}{\sqrt{3^3+33\sqrt[3]3+19\sqrt[3]{3^2}}}$$

Или так:

$$d=2(t^2-1)\sqrt{\frac{1+t^2+t^4}{19+11t^2+t^7}}, t=\sqrt[3]3$$

$d$ - расстояние между точками крепления.