Тележки и горки на гладкой горизонтальной плоскости

[Rusit8800]

Задача: На пути тележки массой $m$, скользящей по гладкому горизонтальному столу со скоростью $v$, находится незакрепленная горка высотой $H$ и массой $M$. Тележка по горке, а также горка по столу скользят без трения. Скорость тележки $v$ недостаточна, чтобы преодолеть горку. На какую максимальную высоту $h'$ поднимется тележка? Какие скорости $v_t$ и $u_g$ приобретут тележка и горка, когда тележка съедет с горки, не добравшись до вершины.
Решение:

Пусть $u$- скорость горки при "столкновении" тележки с горкой.
Импульс в системе сохраняется, поэтому $\[mv = (m + M)u\]$, откуда $\[u = \frac{{mv}}{{m + M}}\]$. Далее, распишем закон сохранения энергии для этого случая:

$$\[\frac{{m{v^2}}}{2} = mgh' + \frac{{m{u^2}}}{2}\]$$

$$\[\frac{{m{v^2}}}{2} = mgh' + \frac{{m{{\left( {\frac{{mv}}{{m + M}}} \right)}^2}}}{2}\]$$

Откуда:

$$\[h' = \frac{{{v^2}\left( {1 - \frac{{{m^2}}}{{{{\left( {m + M} \right)}^2}}}} \right)}}{{2g}}\]$$

Теперь рассмотрим такую систему: пусть тележка стоит на неподвижной горке на высоте $\[{h'}\]$, трения нигде нет.

Ясно, что когда когда тележка съедет с горки, то ее скорость будет равна $v_t$. Пусть $u'$ - скорость горки после спуска тележки. Тогда $u_t=u'+u$. Согласно закону сохранения импульса:

$$\[m{v_g} = (M + m)u'\]$$

, откуда $\[u' = \frac{{m{v_g}}}{{m + M}}\]$. Закон сохранения полной мех. энергии для данного случая будет иметь вид:

$$\[mgh' = \frac{{(M + m){{u'}^2}}}{2} + \frac{{m{v_g}^2}}{2}\]$$

После подстановки туда $h'$ и $u'$ и применения формулы разности квадратов получим $\[{v_g} = v\sqrt {\frac{M}{{m + M}}} \]$
$\[{u_t} = u + u' = \frac{m}{{m + M}}(v + {v_g}) = \frac{{mv}}{{m + M}}\left( {1 + \sqrt {\frac{M}{{m + M}}} } \right)\]$
Проблема в том, что скорости не зависят от $H$, которая дана в задаче.

[DimaM]

ЗСЭ для первой половины записан неправильно - горка тоже движется.
Уравнения для второй половины вообще непонятно откуда взятые.

Попробуйте перейти в систему центра масс - в ней все очевидно, нужно только скорости правильно найти.

Rusit8800 в сообщении #1195026 писал(а):

Проблема в том, что скорости не зависят от $H$, которая дана в задаче.

А почему бы они должны зависеть? Высота подъема $h'$ тоже не зависит от $H$, равно как и от цвета горки и числа колес у тележки.

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1195037 писал(а):

ЗСЭ для первой половины записан неправильно - горка тоже движется.

Ну да, это скорость $u$ в уравнении

$$\[\frac{{m{v^2}}}{2} = mgh' + \frac{{m{u^2}}}{2}\]$$

-- 24.02.2017, 17:35 --

DimaM в сообщении #1195037 писал(а):

Уравнения для второй половины вообще непонятно откуда взятые.

Rusit8800 в сообщении #1195026 писал(а):

$$\[m{v_g} = (M + m)u'\]$$

Закон сохранения импульса для "новой" модели.

Rusit8800 в сообщении #1195026 писал(а):

$$\[mgh' = \frac{{(M + m){{u'}^2}}}{2} + \frac{{m{v_g}^2}}{2}\]$$

Потенциальная энергия тележки "переходит" в кинетическую энергию самой себя и горки.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1195046 писал(а):

Ну да, это скорость $u$ в уравнении

Что-то непохоже. В ЗСИ вы верно полагаете, что тележка и горка имеют равные скорости, а в этом уравнении - что-то другое.

-- 24.02.2017, 20:35 --

Rusit8800 в сообщении #1195046 писал(а):

Закон сохранения импульса для "новой" модели.

И какой тут смысл правой и левой части?

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1195047 писал(а):

тележка и горка имеют равные скорости

Они равны? Если $m<M$, то согласно уравнению $\[u = \frac{{mv}}{{m + M}}\]$ скорость горки будет меньше скорости тележки. Да и вообще в ином случае это было бы нелогично. Как выстрел из пистолета.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1195046 писал(а):

Потенциальная энергия тележки "переходит" в кинетическую энергию самой себя и горки.

Тоже неясно.

Вы делаете какие-то неясные предположения, из них, естественно, получаются такие же неясные следствия.

Попробуйте в системе центра масс, там заметно проще.

(Оффтоп)

Можно догадаться, что конечные скорости будут такими же, как при абсолютно упругом ударе.

-- 24.02.2017, 20:40 --

Rusit8800 в сообщении #1195048 писал(а):

Они равны?

В точке максимального подъема? А вы как думаете?

Rusit8800 в сообщении #1195048 писал(а):

Да и вообще в ином случае это было бы нелогично. Как выстрел из пистолета.

Не нужно употреблять слова, смысл которых вам не до конца ясен. Пишите уравнения, не забывая пояснять (особенно для себя), что какая буква обозначает.

(Оффтоп)

Shut up and calculate!

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1195047 писал(а):

И какой тут смысл правой и левой части?

Когда тележка съедет с горки, у нее будет скорость $v_t$, которая не зависит от того, движется ли горка или нет. Поэтому можно считать, что она является искомой. У горки появится "дополнительная" скорость $u'$. Так как в модели задачи она еще и до этого двигалась, то если сложить "дополнительную" скорость со скоростью горки, когда тележка добралась до вершины горки, то получится искомая скорость $u_g$ горки.

-- 24.02.2017, 17:43 --

DimaM в сообщении #1195050 писал(а):

Попробуйте в системе центра масс, там заметно проще.

Давайте хотя бы разберемся, почему я не прав здесь.

-- 24.02.2017, 17:44 --

DimaM в сообщении #1195050 писал(а):

В точке максимального подъема? А вы как думаете?

Блин, там же еще подвижная система

-- 24.02.2017, 17:46 --

DimaM в сообщении #1195050 писал(а):

Попробуйте в системе центра масс, там заметно проще.

Ладно, давайте ваш способ, видимо итак придется перерешивать задачу. Мне только не понятна суть этого метода.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1195053 писал(а):

Когда тележка съедет с горки, у нее будет скорость $v_t$, которая не зависит от того, движется ли горка или нет.

А как же законы сохранения?

Rusit8800 в сообщении #1195053 писал(а):

Ладно, давайте ваш способ, видимо итак придется перерешивать задачу. Мне только не понятна суть этого метода.

Читайте здесь, раздел 4.3.
В вашей задаче, впрочем, можно и без этого решить, только нужно аккуратности добавить.

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1195060 писал(а):

А как же законы сохранения?

Ну, вот.

$$\[mgh' = \frac{{(M + m){{u'}^2}}}{2} + \frac{{m{v_g}^2}}{2}\]$$

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1195068 писал(а):

Ну, вот.

Что означает каждый из членов в этом уравнении?

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1195050 писал(а):

В точке максимального подъема? А вы как думаете?

А, подождите, я вспомнил, в "новой" модели я перешел в подвижную систему горки.

-- 24.02.2017, 18:01 --

$h'$- высота максимального подъема
$u'$- приращение скорости горки, которая она получит, когда тележка съедет с нее
$v_g$- скорость тележки, когда она съедет

-- 24.02.2017, 18:03 --

DimaM в сообщении #1195047 писал(а):

В ЗСИ вы верно полагаете, что тележка и горка имеют равные скорости, а в этом уравнении - что-то другое.

Просто $v$ еще затратится на $mgh'$. То есть $v>u$

[fred1996]

В данной задаче всего две конструктивные идеи.
1. Въезд тележки на горку по максимуму.
Это как абсолютно неупругий удар
2. Окончательный съезд тележки с горки.
Это уже абсолютно упругий удар.
Оба случая разбираются стандартным образом.

[Rusit8800]

Но в абсолютно упругих ударах рассматриваются только кинетические энергии, а тут еще потенциальная.

-- 24.02.2017, 19:16 --

Поэтому не понятно, почему эту модель можно рассмотреть как абсолютно упругий удар, ведь тележка еще забралась на некоторую высоту?

-- 24.02.2017, 19:17 --

Я, кстати, хоть макс. высоту правильно нашел?

[fred1996]

Преимущество энергетического подхода в том, что он позволяет пропустить промежуточные состояния.
Неважно что случится с тележкой в процессе.
Важно начальное и конечное состояние системы.
В данном конкретном примере тележка сначала получила какую-то потенциальную энергию, а затем ее же и отдала. Поэтому неважно, какая это была энергия.

Ну а для нахождения высоты вы просто используете некую подмену.
У вас же продольный импульс сохраняется. При абсолютно неупругом ударе часть энергии уходит в тепло. А в вашем случае энергия не теряется, просто она вместо тепла переходит в потенциальную энергию тележки.

[Rusit8800]

fred1996 в сообщении #1195102 писал(а):

Оба случая разбираются стандартным образом.

Раз можно считать, что это как абсолютно упругий удар, то для абсолютно упругого удара есть общая система:

$$\[\left\{ \begin{gathered} {m_1}{u_1}{\text{ }} + {\text{ }}{m_2}{u_2}{\text{ }} = {\text{ }}{m_1}{v_1}{\text{ }} + {\text{ }}{m_2}{v_2}{\text{ }} \hfill \\ \frac{{{m_1}u_1^2{\text{ }}}}{2}{\text{ }} + {\text{ }}\frac{{{m_2}u_2^2}}{2}{\text{ }} = {\text{ }}\frac{{{m_1}v_1^2}}{2}{\text{ }} + {\text{ }}\frac{{{m_2}v_2^2}}{2}{\text{ }} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Делая подстановки $\[{m_1} = m,{m_2} = M,{v_1} = v,{v_2} = 0\]$ получим искомые $\[{u_g} = {u_2},{v_t} = {u_1}\]$.
Так?
И да, правильно ли я нашел максимальную высоту?

-- 24.02.2017, 21:50 --

fred1996 в сообщении #1195126 писал(а):

Преимущество энергетического подхода в том, что он позволяет пропустить промежуточные состояния.

Кстати, а разве я не использовал сейчас энергетический подход? Я же использовал понятия полной, потенциальной, кинетической мех. энергии, не так ли?