Задача на поиск работы силы Архимеда

[Rusit8800]

Добрый день.Я выложу наиболее спорные для меня задачи, проверьте пожалуйста мои решения. Начнем с первой такой задачи.
Задача 1. Льдина площадью $S=1$ м^2 и толщиной $d=0.4$ м плавает в воде.Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?

Решение. Пусть $h'$ - высота "торчащей" части. Приравнивая силу тяжести и силу Архимеда легко найти $h'$:

$$\[h' = \frac{{{\rho _w}d}}{{{\rho _w} + {\rho _l}}}\]$$

где $\[{{\rho _w}}\]$ - плотность воды, $\[{{\rho _l}}\]$ - плотность льда. Далее, используя теорему о кинетической энергии легко найти, что искомая работа $A$ равна $\[A = {A_{{F_a}}} - mgh'\]$. $mgh'$ легко выразить через известные величины ,но сила Архимеда непостоянна. Еще работу ${A_{{F_a}}}$ можно найти как площадь под графиком:

$$\[{A_{{F_a}}} = \left| S \right| = \frac{{a + b}}{2} \cdot h' = \frac{{{\rho _w}gS(d - h') + {\rho _w}gSd}}{2} \cdot h' = \frac{{{\rho _w}gSh'(2d - h')}}{2} = \frac{{{\rho _w}gS \cdot \frac{{{\rho _w}d}}{{{\rho _w} + {\rho _l}}} \cdot (2d - \frac{{{\rho _w}d}}{{{\rho _w} + {\rho _l}}})}}{2}\]$$

Однако, подставляя числовые данные в формулу, получим, что ${A_{{F_a}}} \approx 1239$ Дж, что никак не поддается здравому смыслу.

[mihiv]

$h'$ найдено неправильно.

[Rusit8800]

mihiv в сообщении #1194176 писал(а):

$h'$ найдено неправильно.

Нашел ошибку, кажется $\[h' = \frac{{d({\rho _w} - {p_l})}}{{{\rho _w}}}\]$

[amon]

Rusit8800 в сообщении #1194183 писал(а):

Нашел ошибку

OK. Теперь давайте работу считать. Тут такую вещь надо понять. Вот, плавает льдина, не тонет и не взлетает. Чему равна сумма сил действующих на неё? Правильно, нулю. Если мы надавим на льдину с силой 200000 ньютонов, то она, конечно, потонет, но при этом разгонится со страшной силой, а на разгон тоже уйдет какая-то работа, стало быть, в этом случае работа точно не минимальна.

Если надавить на льдину слегка мизинчиком, то она чутка погрузится, если надавить послабее, то она тоже погрузится, но меньше. Значит давить надо в начальный момент совсем слабо, то есть в пределе никак. Теперь льдина погрузилась, и что бы ее удерживать, надо давить уже ладонью, если надавить ещё чуть-чуть, то она уйдет вниз. Опять этим чуть-чуть пренебрегаем. Уловили идею?

[DimaM]

Rusit8800
Чтобы не возиться с вычислением работы переменной силы, придуман закон сохранения энергии.
Представим себе, что мы отрезали торчащий над водой кусок льдины и приклеили его снизу. А такой же кусок воды снизу убрали и размазали равномерно по поверхности водоема. Чему будет равно изменение потенциальной энергии?

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1194260 писал(а):

Чтобы не возиться с вычислением работы переменной силы, придуман закон сохранения энергии.
Представим себе, что мы отрезали торчащий над водой кусок льдины и приклеили его снизу. А такой же кусок воды снизу убрали и размазали равномерно по поверхности водоема. Чему будет равно изменение потенциальной энергии?

Ну, видимо это то же самое, что погрузить льдину на глубину $h'$. Тогда изменение пот. энергии льдины равно

$$\Delta E = mgh'$$

-- 21.02.2017, 17:55 --

amon в сообщении #1194254 писал(а):

Уловили идею?

Честно, не очень.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1194385 писал(а):

Ну, видимо это то же самое, что погрузить льдину на глубину $h'$. Тогда изменение пот. энергии льдины равно

$$\Delta E = mgh'$$

Эт вряд ли - при погружении потенциальная энергия уменьшается.
А чему равно изменение потенциальной энергии воды, перемещенной снизу на поверхность?

[Rusit8800]

DimaM в сообщении #1194407 писал(а):

А чему равно изменение потенциальной энергии воды, перемещенной снизу на поверхность?

Ну, наверное если пренебречь неравномерным перемещением воды, то тоже(там я по модулю брал) $\Delta E = mgh'$

[Батороев]

DimaM в сообщении #1194260 писал(а):

Чтобы не возиться с вычислением работы переменной силы

Если изменение силы линейно, то возня не так уж и велика.

[DimaM]

Rusit8800 в сообщении #1194458 писал(а):

Ну, наверное если пренебречь неравномерным перемещением воды, то тоже(там я по модулю брал) $\Delta E = mgh'$

Неверно. Покажите ваши выкладки, может, найдем ошибку.

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1194183 писал(а):

кажется $\[h' = \frac{{d({\rho _w} - {p_l})}}{{{\rho _w}}}\]$

Да. И это будет перемещением.
Направим ось $x$ вниз, установим ноль на верхней поверхности свободно плавающей льдины.
Сила с которой надо давить чтобы льдина погрузилась на $\Delta x$ метров, будет зависеть от $\Delta x$ линейно, как вы и заметили ранее и нарисовали на рисунке.
Сначала, когда льдина свободно плавает, внешняя сила $F(0)=0$, то есть при $x=0$ равна нулю. То есть, пока льдина не погрузится полностью, она будет действовать как пружина по закону Гука $F=kx$ (а когда погрузится, то сила станет постоянной и не зависящей от $x$ и даже не зависящей от формы льдины).
В конце, когда льдина полностью погружена, сила $F(h')$ равна... (напишите чему).
Дальше находите среднюю (между нулевой начальной и ненулевой конечной) силу, умножаете на перемещение и получаете искомую работу.

[Rusit8800]

Ну вот я нашел работу силы Архимеда через площадь под графиком, начальное и конечное значение силы Архимеда приведено на рисунке. Правильно ли я нашел силу Архимеда? Дальше искомую работу будет легко найти, она равна $\[A = {A_{{F_a}}} - mgh'\]$

[Skeptic]

Rusit8800 в сообщении #1194594 писал(а):

Ну вот я нашел работу силы Архимеда через площадь под графиком, начальное и конечное значение силы Архимеда приведено на рисунке. Правильно ли я нашел силу Архимеда? Дальше искомую работу будет легко найти, она равна $\[A = {A_{{F_a}}} - mgh'\]$

$m$ - это масса чего?

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1194594 писал(а):

Ну вот я нашел работу силы Архимеда через площадь под графиком, начальное и конечное значение силы Архимеда приведено на рисунке. Правильно ли я нашел силу Архимеда?

Не знаю, на графике непонятно, но силой Архимеда, действующей на тело, обычно называют
$F_A=\rho_w gV$, где $V$ - погруженный в воду объем тела.
Из правильного, у вас правильно найдено

$$\[h' = \frac{{d({\rho _w} - {\rho _l})}}{{{\rho _w}}}\]$$

- высота выступающей из воды свободно плавающей льдины (т.е. до начала погружения при помощи внешней силы, работу которой надо посчитать).

[amon]

Rusit8800 в сообщении #1194594 писал(а):

Ну вот я нашел работу силы Архимеда через площадь под графиком, начальное и конечное значение силы Архимеда приведено на рисунке.

Вам нужна работа внешней силы, преодолевающей (в пределе - равной) силу Архимеда.