2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 05:35 
Аватара пользователя
Изображение
Собственные моды такого маятника легко угадываются из симметрии.
Одна стоячая симметричная мода, когда средняя масса совершает чисто вертикальное колебание, а два крайние совершают синхронные со средней колебания в противофазе друг к другу. Задачка для этой моды вполне считабельная, поскольку из-за симметрии сводится к одной степени свободы.

Вторая мода синфазная в том плане, что все три массы совершают горизонтальные колебания в одинаковой фазе. Центральная масса вообще без вертикальной скорости, а обе крайние массы в противофазе по вертикали.
Задачку для этой моды можно решить в два приема.
Очевидно, что вертикальное смещение центральной массы будет второго порядка малости по отношению к первому порядку малости вертикального смещения крайних грузов.
Мы ее так в лоб не сможем оценить. Но можем схитрить. Давайте эту массу жестко прикрепим к горизонтальной рельсе без трения. Так что она вообще не сможет смещаться по вертикали. Тогда у нас задача тоже превращается в колебание с одной степенью свободы. И частота считается вполне конкретно. А раз так, мы в любом положении можем сосчитать силу, с которой рельсина давит на среднюю массу и таким образом сосчитать вертикальное ускорение, которое получила бы эта средняя масса без рельсины. Но ведь точно так же, как рельсина давит на среднюю массу, так и через стержни передается эта экстра сила крайним массам. То есть можно одновременно ввести поправки по экстра ускорениям для всех трех масс, которые и дадут искомую поправку второго порядка к смещениям всех трех масс.
Надеюсь что хоть кто нибудь понял ход моих "глубоких размышлизмов". :|

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 12:42 
Аватара пользователя
fred1996 в сообщении #1194509 писал(а):
Очевидно, что вертикальное смещение центральной массы будет второго порядка малости по отношению к первому порядку малости вертикального смещения крайних грузов.

Вы где-то обсчитались. Первого.

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 13:37 
Munin в сообщении #1194553 писал(а):
Вы где-то обсчитались. Первого.

Второго.Это же действительно очевидно, поскольку крайние уже "имеют начальный угол по вертикали", а нижний - нет.

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 14:13 
Аватара пользователя
Однако крайние уже имеют и "начальный угол по горизонтали".

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 15:01 
Если взять углы смещения 1 порядка, то они кажется должны выходить примерно одинаковыми, а порядок смещения нижнего по вертикали - их разность (сторона треугольника по 1 порядку не изменяется из-за верт. направления, но изменяется из-за разности в горизонтальном, соответственно высота тоже и угол ее отклонения), поэтому она равна нулю.
Надо, как и в той задаче:
fred1996 в сообщении #1194404 писал(а):
косинусы малых углов нужно раскладывать до второго члена.

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 15:22 
Аватара пользователя
Не буду вам мешать распутаться самостоятельно.

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 18:44 
Аватара пользователя
Как я говорил в параллельной теме, эта задача эквивалентна задаче о двух маятниках, связанных пружинкой. Роль пружинки играет средний груз.

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 21:53 
Аватара пользователя
Собственно если угол смещения левого груза $\alpha$ вверх, то правого $\alpha-k_1\alpha^2$ вниз, а вертикальное смещение среднего $k_2l\alpha^2$
Если при равновесии угол смещения левого и правого грузов $\varphi$, то считая скорости этих грузов $v_0$ у среднего груза горизонтальная скорость $v\cos(\varphi)$
Как я уже говорил, вначале считаем, что средний груз двигается по горизонтальной рельсе. То есть в этом случае считаем $k_2=0$, к $k_1$ находим из геометрии.
После чего из энергетического уравнения находим частоту данной связной конструкции.
До этого конечно надо сосчитать начальный угол отклонения стержней при центральном грузе $\psi$

Интересно, в бытность мою студентом мы пользовались значками о-малое и O-большое.
Сейчас это принято?

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 22:05 
Аватара пользователя
fred1996 в сообщении #1194684 писал(а):
Собственно если угол смещения левого груза $\alpha$ вверх, то правого $\alpha-k_1\alpha^2$ вниз, а вертикальное смещение среднего $k_2l\alpha^2$

Приведите расчёт. Заодно раскройте обозначения.

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 22:34 
Аватара пользователя
fred1996 в сообщении #1194684 писал(а):
вертикальное смещение среднего
У Вас задача с двумя степенями свободы, поэтому положение двух крайних грузов задает положение среднего. Считать надо изменение потенциальной энергии. Оно будет квадратичным по смещениям, как и положено для осциллятора.

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение22.02.2017, 23:27 
Аватара пользователя
amon в сообщении #1194696 писал(а):
fred1996 в сообщении #1194684 писал(а):
вертикальное смещение среднего
У Вас задача с двумя степенями свободы, поэтому положение двух крайних грузов задает положение среднего. Считать надо изменение потенциальной энергии. Оно будет квадратичным по смещениям, как и положено для осциллятора.


В том то и дело, что крайние грузы смещаются уже не под нулевым, а фиксированным углом, поэтому изменение их потенциальной энергии линейно относительно малого угла смещения, а вот изменение суммы их потенциальных энергий квадратично.
Это я к тому, что ваше предположение о горизонтальности всех скоростей у веревочного маятника в "равновесном" состоянии скорее всего неверно.
Если веревка двигается вправо, то все ее левые части имеют ненулевую скорость вверх а правой части вниз.

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение23.02.2017, 01:39 
Аватара пользователя
fred1996 в сообщении #1194701 писал(а):
Это я к тому, что ваше предположение о горизонтальности всех скоростей у веревочного маятника в "равновесном" состоянии скорее всего неверно.
Так вот с чем Вы до сих пор боритесь ;) Там другая задача была - все колебалось в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (в $z$-направлении). В этом случае каждый шарик двигается как маятник, подвешенный на вертикальной нити, и очевидно, что смещение по $y$ квадратично по углу, а по $z$ - линейно.

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение23.02.2017, 07:07 
Аватара пользователя
Изображение

Дам пока только свой ответ.
$\omega_2^2=\frac32\frac{ g}{l}\frac{1}{\cos(\varphi)}[1-\frac13\sqrt{1+8\sin^2(\varphi)}]$
Тут понятно, что $\tg(\varphi)=3\tg(\psi)$
Поэтому ответ и можно выразить через один угол.
Для $\omega_1$ решение достаточно очевидное
Поведение при больших и малых углах может показаться странным.
Но на самом деле при этих углах сами колебания "странные"

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение23.02.2017, 08:58 
Аватара пользователя
Наоборот
$\tg(\psi)=3\tg(\varphi)$

 
 
 
 Re: Тройной маятник с двумя степенями свободы
Сообщение23.02.2017, 09:31 
Аватара пользователя
Munin в сообщении #1194688 писал(а):
Приведите расчёт.

 
 
 [ Сообщений: 55 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group