Малые колебания веревки

[fred1996]

Пусть у нас висит однородная веревка массы $m$ и длины $l$, закрепленная за оба конца, находящиеся на одном уровне и расстояние между ними $l_0$
Веревку чуток отклонили из положения равновесия так что получился этакий жидкий физический маятник. Расчитать период малых колебаний этой конструкции.

[fred1996]

A и B - точки подвеса.
Всю веревку отклоняем немного в сторону так, чтобы никаких волн, одни простые колебания.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Олимпиадные задачи (Ф)»

[Erleker]

Первым в голову приходит, что можно пренебречь изменением формы веревки и считать, что вся конструкция как-бы отклоняется неизменившись , центр масс поднимается на маленькую высоту, то есть тогда просто посчитать период математического маятника для центра масс...
Вроде бы кажется естественным, что от массы ответ не должен зависеть.

[fred1996]

Ну хорошо, а как сосчитать максимальную скорость этого центра масс в нижней точке?
За обобщенные координаты можно брать центр масс, нижнюю точку. Но непонятно, как считать кинетическую энергию. Да и с потенциальной тоже проблемы. Даже если считать, что форма веревки не меняется, то она все равно становится несимметричной при максимальном отклонении. Появляется лишний кусочек, который тоже дает квадратичное слагаемое в потенциальную энергию. В общем пока вопросов больше, а ответа ни одного.

[Erleker]

Несиметричность влияет первым пордяком малости на "радиус" к центру масс, а это нас не волнует, поэтому с потенциальной энергией проблем нет.Точного доказательства того, что кинетическую энергию системы можно считать такой же, как и в аналогии я предоставить не могу.Пока я выдал " интуитивный" ответ.
P.S. Это задача школьного уровня?

[fred1996]

Несимметричность как-раз очень сильно влияет.
Представьте, что мы увеличиваем $l_0$ до величины близкой к $l$.
Тогда симметричная веревка превратится фактически в жесткий физический маятник с очень большим периодом колебаний.
Несимметричная (наша) веревка уже превращается в сильно натянутую струну. И ее частота колебаний увеличивается с увеличением натяжения струны.

Для начала можно было бы попытаться решить задачу для симметричного случая. То есть жестко зафиксировать геометрию провисающей веревки и сосчитать частоту малых колебаний такого физического маятника. А потом сравнить в чем разница с реальной веревкой.

[amon]

Что-то терзают меня сомнения по поводу этой задачи. Простая задача - малые плоские колебания тяжелой цепи, подвешенной за один конец, решается с помощью функции Бесселя. Эта задача была решена Д. Бернулли задолго до того, как родился сам Фридрих Вильгельм Бессель, что подтверждает "гипотезу Арнольда". Ваша задача кажется мне более сложной. Я ее решения не видел.

[fred1996]

Так а я не стремлюсь найти точное решение.
Интересно просто попробовать на зуб.
Собственно поэтому я и опубликовал ее в другом разделе.
Но местное начальство решило сюда переадресовать.

[levtsn]

Поперёк плоскости?

[amon]

fred1996 в сообщении #1194013 писал(а):

Интересно просто попробовать на зуб.

Ну, давайте попробуем. Что мы хуже Бернулли? Только за моими руками следите, я это на бегу пишу, так что совру - недорого возьму. Будем рассматривать колебания только вдоль одной координаты. Нам известно уравнение покоящейся цепи (цепная линия, сиречь гиперболический косинус). Будем считать, что это уравнение записано в каноническом виде - $x$ и $y$ заданы как функции длины вдоль цепи: $x=x(s),\;y=y(s)$ где $s$ меняется от нуля до $L$, координата $y$ направлена вдоль силы тяжести, а болтается все это безобразие вдоль $z$.

У колеблющейся цепи $x$ не поменялось, $y=y(s)+u_y(s,t)$, $z=u_z(s,t)$. Переменные $u$ малы. Из нерастяжимости цепи следует, что $dx^2+dy^2+dz^2=ds^2$ откуда $x'(s)^2+(y'(s)+u_y')^2+u_z'^2=1$, откуда, пренебрегая членами высшего порядка получаем связь

$$ u_y'(s,t)=\frac{1-x'^2-y'^2-u_z'}{2y'}\quad(1) $$

(Начиная с этого места $x$ и $y$ eу меня стали координатами равновесной цепи, но исправлять лень.) Осталось написать функцию Лагранжа. Кинетическая часть пишется просто: $T=\frac{\rho}{2}\int\limits_{0}^{L} \dot{u_z}^2ds$ (величиной $u_y$ пренебрегли, как имеющей более высокий порядок малости). Остается потенциальная энергия.

$$ \begin{align} V&=\int\limits_{0}^{L}(y+u_y)ds=\int\limits_{0}^{L} y(s)ds+\int\limits_{0}^{L} u_yds=U+u_ys\vert_0^L-\int\limits_{0}^{L}su_y'ds\quad\text{итого}\\ V&=U+\int\limits_{0}^{L}\frac{\rho gs(1-x'^2-y'^2-u_z')}{2y'} \end{align} $$

Здесь по дороге проинтегрировали по частям, воспользовались тем, что концы закреплены, обозначили потенциальную энергию равновесной цепи буквой $U$ и воспользовались (1). Теперь путь открыт к успеху: нарисуем функцию Лагранжа $\mathcal{L}=T-V$, проварьируем и получим уравнение

$$ \frac{\partial^2 u_z}{\partial t^2}=-\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{gs\frac{\partial u_z}{\partial s}}{y'(s)}\right) $$

Как говаривал в подобных случаях друг Бернулли Леонард Эйлер "Решай кто может!".

[fred1996]

amon в сообщении #1194088 писал(а):

Ну, давайте попробуем. Что мы хуже Бернулли? Только за моими руками следите, я это на бегу пишу, так что совру - недорого возьму. Будем рассматривать колебания только вдоль одной координаты. Нам известно уравнение покоящейся цепи (цепная линия, сиречь гиперболический косинус). Будем считать, что это уравнение записано в каноническом виде - $x$ и $y$ заданы как функции длины вдоль цепи: $x=x(s),\;y=y(s)$ где $s$ меняется от нуля до $L$, координата $y$ направлена вдоль силы тяжести, а болтается все это безобразие вдоль $z$. ..... Кинетическая часть пишется просто: $T=\frac{\rho}{2}\int\limits_{0}^{L} \dot{u_z}^2ds$ (величиной $u_y$ пренебрегли...

В том то и дело, что это справедливо только для веревки, закрепленной одним концом.
А если у нас веревка растянута по горизонтали, то чем больше натяжение, тем больше вертикальная составляющая скорости. В пределе обычная струна с поперечной волной.
В нашем случае это более похоже на первую (не нулевую) гармонику.
То есть для $l_0$ близкой к нулю получаем то самое решение Бернулли, а для $l_0$ близкого к $l$ первая гармоника. Можно было бы наверное ожидать, что для промежуточных $l_0$ решение можно получить из суперпозиции двух этих решений с различными весовыми к-тами.

[amon]

fred1996 в сообщении #1194112 писал(а):

В том то и дело, что это справедливо только для веревки, закрепленной одним концом.

IMHO, это справедливо для любой нерастяжимой тяжелой веревки. Все, что используется - условие нерастяжимости (1) и то, что перед этим. Из $x'(s)^2+(y'(s)+u_y')^2+u_z'^2=1$ следует, что колебания вдоль $y$ имеют второй порядок малости, и это не зависит от того, закреплены концы или нет. Закреплением концов я воспользовался, когда выводил потенциальную энергию (у Бернулли она другая, т.к. один конец не закреплен, и при интегрировании по частям внеинтегральный член не зануляется).

[Xey]

Может начать с цепи из 3 звеньев ?

[amon]

Xey в сообщении #1194137 писал(а):

Может начать с цепи из 3 звеньев ?

Убъёмся. Надо тогда модель звеньев изобретать. Непрерывная модель проще, только непонятно (мне) как уравнение решить.