Теорема Вейерштрасса для пространств Гёльдера

[nckg]

Из классической теоремы Вейерштрасса следует, что $C^\infty[0,1]$ всюду плотно в $C[0,1]$.
Сохранится ли это утверждение, если вместо $C[0,1]$ взять $C^\alpha[0,1]$, $0<\alpha<1$?

Заодно, если не трудно, дайте ссылку на какую-нибудь книгу где подробно описаны свойства пространств Гёльдера. Заранее спасибо!

[Gafield]

Если рассуждать также, как при доказательстве несепарабельности, .то получится, что расстояние в $C^\alpha(\mathbb R) $ между любой функцией из $C^\infty([0,1]) $ и $|x-1/2|$ не меньше 1. Известно, что замыканием пространства гладких функций в $C^{\alpha}$ бует пространство с условием $|f(x+\Delta x)-f(x)|/|\Delta x|^\alpha\to0$ при $|\Delta x|\to0$.

Какие собственно свойства нужны? Упомянутый факт имеется в книге Самко, Килбас, Маричев. Всякие теоремы вложения, продолжения, компактности и т.д. можно смотреть в книгах по свойствам всяких шкал пространств, напр., Никольский; Бесов, Ильин, Никольский;Трибель. Свойства коэф. Фурье, свойства многочленов наилучшего приближения есть в книгах по триг. рядам, напр. Тиман.

[nckg]

Хм, что-то я не до этого не догадался

Действительно получается, что функцию $|x-1/2|^\alpha$ нельзя аппроксимировать гладкими по норме $C^\alpha[0,1]$.

Что касается свойств, то того, что Вы перечислели, мне пока хватит:) Спасибо!