Радиоактивность смеси двух компонент

[fred1996]

Данная задача встречалась мне в различных вариантах международных олимпиад и в советское время тоже.
Может она не совсем олимпиадная, но концептуальная.
Показывает, как студенты способны работать с экспериментальными данными.
Так что даю ее в одном из вариантов, который оказался под рукой.
Дана таблица логарифмов интенсивности $\beta-$ распада двухкомпонентной смеси.
Время дано в часах:

t lnA
0 4.10
1 3.60
2 3.10
3 2.60
5 2.06
7 1.82
10 1.60
14 1.32
20 0.90

Надо определить периоды полураспада обеих компонент и их соотношение в начальный момент $t=0$

[mihiv]

Активность изотопа меняется со временем по закону $A=\lambda N\exp (-\lambda t), N-$число атомов изотопа. Из таблицы видно, что логарифм активности смеси изотопов зависит линейно от $t$ на двух участках: $0\leq t\leq 3, 7\leq t\leq 20$. Это значит, что на этих участках активность одного из изотопов $\gg $ активности другого. Угловой коэффициент наклона прямой на первом участке дает $\lambda _1=0.5$ для первого изотопа, и аналогично на втором участке получим $\lambda _2=0.07$.

При $t=0, \ln A\approx \ln A_1=4.10$, при $t=20, \ln A \approx \ln A_2-\lambda _220=0.90.$ Отсюда: $\dfrac {A_1}{A_2}=\dfrac {\lambda _1N_1}{\lambda _2N_2}=e^{1.8}, \dfrac {N_1}{N_2}=0.84$

[fred1996]

Да, задачка не ахти какая.
Хочу вот придумать что-нибуд "поолимпиаднее" на радиоактикность.
Пример:
Есть радиоактивный элемент $A$ с периодом полураспада $T_a$, который превращается в радиоактивный элемент $B$ с периодом полураспада $T_b$.
Если вначале у нас был только элемент $A$, через какое время количество элемента $B$ станет максимальным?
И если процесс распада стационарен, и результатом является стабильный элемент $C$, чему равен к-т $\alpha$ в выражении $C=C_0(1-\exp(-\alpha t)$ для количества элемента $C$ как функция времени?