Неопределённый терм

[arseniiv]

Как вы понимаете терм $\{0^{-1}\}$ — как бессмысленный или имеющий значением пустое множество?

Второе понимание получится, если развернуть его: $\{a\} = \{x : x = a\}$, и утверждение справа тождественно ложно, потому что включает неопределённый терм.

-- Вс фев 19, 2017 01:47:07 --

(Понятно, что с точки зрения обычно рассматриваемых логик, где все термы имеют значения, этого вопроса вообще не существует, а вот свободные (free) логики, как раз допускающие неопределённые термы (и иногда неопределённые формулы), вроде бы, относятся к нему по-разному. Так как формализация идёт после математической интуиции, а не до, интересуют в большей степени именно мнения не на основе формальных теорий.)

[Anton_Peplov]

Ну уж если вопрос про интуицию, моя интуиция не видит существенной разницы между "$x$ такой, что $x = x + 1$" и "$x$ такой, что $1/0 = x$" - то и другое означает, что множество всех таких $x$ пусто. Впрочем, я тут плохой советчик, потому что мне никогда не доставало времени досконально выловить блох во всех этих логических выкрутасах с пустым множеством, которые на практике почти никогда не пригождаются.

[arseniiv]

Упс, я там досадную опечатку сделал. Исправленный кусок:

arseniiv в сообщении #1193670 писал(а):

$\{a\} = \{x : x = a\}$

Вопрос-то скорее про то, чем это $\{x\}$ должно отличаться от $x + 1$, чтобы $\{0^{-1}\}$ было определено, а $0^{-1} + 1$ не было, или, если ничем, почему тогда $\{0^{-1}\}$ не идентично $\{ x : x = 0^{-1}\} = \varnothing$.

-- Вс фев 19, 2017 02:36:42 --

Обычно, конечно, математики не позволяют себе выстраивать большие выражения с термом, определённость которого не была показана/очевидна, так что этот вопрос более-менее праздный. Но всё же.

[mihaild]

А чем плох вариант "не воспринимать $x^{-1}$ (и соответственно все производные от него) как терм"? Т.е. если мы где-то пишем $x^{-1}$, то это распаковывается в подстановку везде $y$ вместо $x^{-1}$, и написанием где-то рядом либо $\exists y: y \cdot x = 1 \wedge \ldots$, либо $\forall y: y \cdot x = 1 \rightarrow \ldots$.

[arseniiv]

Ну, это отдаляет формализм от привычного математического употребления. Лучше уж доопределить $x^{-1}$ в нуле каким-нибудь значением, как это делается обычно.

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #1193670 писал(а):

Так как формализация идёт после математической интуиции, а не до, интересуют в большей степени именно мнения не на основе формальных теорий.)

Я бы считал $\{0^{-1}\}$ неопределенным. И $\{ x^{-1} | x\in F \}$ считал бы неопределенным, если в $F$ есть необратимые элементы.