Неравенства с модулями

[Adrianaana]

Подскажите, пожалуйста, равносилен ли переход
$ $\left\lvert f(x)\right\rvert>g(x)$\Leftrightarrow$ \left[\begin{array}{l} f(x)>g(x), \\ f(x)<-g(x). \end{array}\right.$$

Если нет, то почему. Некоторые дают через два случая в зависимости от знака $g(x)$. Пробовала подобрать пример, для которого приведенное решение было бы неправильным, не получилось.

[Sender]

Если подобрать контрпример к утверждению не получилось, почему бы не попробовать его доказать?
Может быть, нагляднее будет переписать его в виде
$\left\lvert f(x)\right\rvert>g(x)$\Leftrightarrow$ \left[\begin{array}{l} f(x)>g(x), \\ -f(x)>g(x). \end{array}\right.$

[bot]

Переходы равносильными не бывают. Равносильными бывают утверждения.
Видимо Вы хотите спросить, равносильно ли неравенство слева дизъюнкции неравенств справа.
В одну сторону, наверно, самой очевидно, В другую сторону, предположите противное ...

Цитата:

Некоторые дают через два случая в зависимости от знака $g(x)$

А при чём здесь знак $g(x)$? Модуль убирается по-разному в зависимости от знака $f(x)$ - вот и получается разбор случаев

[gris]

В школе обычно пишут
$ $\left\lvert x\right\rvert>5$\Leftrightarrow$ \left[\begin{array}{l} x>5, \\ x<-5. \end{array}\right.$
Привычка

[kp9r4d]

Сделаю ненужное и банальное, быть может, замечание: $(x)$ тут ни при чём совершенно ведь (почему, тогда уж, не $(x_1,...,x_n)$?) достаточно проверить для просто чисел, то есть для случая $f(x)=a, g(x)=b$.

[Adrianaana]

Цитата:

А при чём здесь знак $g(x)$? Модуль убирается по-разному в зависимости от знака $f(x)$

В зависимости от знака $f(x)$ - это универсальное раскрытие модуля по определению. А случай
$\left\lvert f(x)\right\rvert >g(x) $ как частный чаще всего в источниках раскрывается так:
1 случай

$$\left\{ \begin{array}{l} g(x)\geqslant0 \\ \left[ \begin{array}{l} f(x)>g(x) \\ f(x)<-g(x) \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$

2 случай

$$\left\{ \begin{array}{l} g(x)<0 \\ x\in R \end{array} \right.$$

Но у меня подозрение, что достаточно совокупности из первой системы, так как из нее при $g(x)<0$ следует $x\in R$

[Евгений Машеров]

Контрпример?
$f(x)=-1$
$g(x)=0$

[bot]

Универсальное - это просто определение модуля. Если есть универсальное и одновременно простое и прозрачное, зачем брать то, что сделано через альтернативное место?
Кстати, это место доказывается не иначе, как с помощью определения, то есть универсальным способом

Adrianaana в сообщении #1192891 писал(а):

чаще всего в источниках раскрывается так

Сильно сомневаюсь в слове чаще. Эту заумь, видимо, можно встретить в пособиях для поступающих - я таких не встречал, хотя в в абитуриентских работах, редко, но видел.

-- Ср фев 15, 2017 17:25:22 --

Евгений Машеров в сообщении #1192905 писал(а):

$f(x)=-1$
$g(x)=0$

Это не контрпример. Всё правильно там, я когда первый раз встретил эту заумь, тоже контрпример искать кинулся.