Теорема о ранге, Зорич, непонятный трюк

[Grabovskiy]

Здравствуйте! Прошу помочь с одним моментом из первого тома Зорича, в теореме о ранге.
Никак не могу понять, как получается, что некоторые частные производные равны нулю, и то, что функции $g^j$ не зависят от переменных $u^{k+1}\ldots,u^n$ (выделил желтым цветом это рассуждение).

[popolznev]

Откуда равенство нулю частных производных? Вот откуда: выше замечено, что ранг матрицы равен $k$. Если хотя бы одно из $\partial g^j/\partial u^i$ при $i,j>k$ будет ненулевым, то ранг матрицы будет заведомо больше $k$, потому что, как видите, в первых $k$ строках она содержит единичную подматрицу $k$-го порядка.

Иначе можно так сказать: поскольку матрица блочно-треугольная, причем нулю равен северо-восточный блок, ранг этой матрицы равен сумме рангов северо-западного и юго-восточного блоков. Известно, что ранг всей матрицы равен $k$, и ранг северо-западного блока равен $k$. Следовательно, ранг юго-восточного блока нулевой, то есть весь этот юго-восточный блок нулевой.

Ну а насчет второго утверждения: если $f'(x) \equiv 0$ на интервале, то $f$ не зависит от $x$.

[Grabovskiy]

popolznev, да, глупый вопрос получился. Спасибо большое!

[crazy_taxi_driver]

Немного оффтоп (не Зорич).. но тоже о ранге.

Рудин в своей т-е о ранге тоже рассматривает примерно то же, только записывает всё поабстрактней (соответственно, попонятней, на мой взгляд). Утверждение Зорича получаем в 2.5 присеста:

• рассматриваем "обратное" производной отображение,
• рассматриваем некую функцию, и
• замечаем за ней некие свойства.

Всё. По сути - никаких выкладок.

Скриншоты на англ. (извините, на русском AFAIK 3-го издания нет, а 2-е заметно хуже в этой теореме):








Для утверждения Зорича - на формуле (71) можно остановиться, и подействовать "обратным" $S$. Но я для полноты привёл всё, Рудиновская т-а о ранге утверждает гораздо больше чем Зоричевская. И в конце - геометрический смысл.

Вопрос собственно: как можно догадаться рассмотреть отображение такого вида, $\mathbf G(\mathbf x)$, в (69)? Не вижу у него простого наглядного смысла.

На ум приходит формула итераций Ньютона (она по сути используется в т-е об обр. ф-ции), но тут ведь другое..