x(t) материальной точки при гармонических колебаниях

[maraul]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, со следующей задачей:
"Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задаётся уравнением $\upsilon(t) = -6\sin2\pi t$. Записать зависимость смещения этой точки от времени."

Само решение не требуется, оно есть. Мне нужна помощь в его осмыслении.

Решение:
$\upsilon(t) = \frac {dx} {dt}$. Можем записать $\frac {dx} {dt} = -6\sin2\pi t$. С этим понятно. Далее интегрируем это уравнение при начальном условии $x(0) = x_0$. Решив определённый интеграл, получим ответ.

Так вот, меня интересуют следующие вопросы:
1) Что такое в этой задаче зависимость смещения точки от времени?
2) Если уже есть уравнение скорости, которое мы интегрируем, то имеет ли значение то, что колебания гармонические? Почему?
3) Почему нужно интегрировать и почему начальное условие $x(0) = x_0$?

Помогите, пожалуйста, с ответами на эти вопросы.

[Metford]

Откровенно говоря, вопросы довольно-таки странные... Но допустим.
Я Вам задам несколько уточняющих вопросов.
1. Какой смысл Вы вкладываете в слова "гармонические колебания"? (это ко второму вопросу и частично к первому)
2. В чём Вы видите смысл начальных условий при решении дифференциального уравнения? (это к третьему вопросу)
3. Вы могли бы привести пример колебаний, подходящий к приведённым здесь уравнениям?

(Оффтоп)

И в заключение процитирую подпись уважаемого ewert: "решить интеграл невозможно".

[maraul]

Metford в сообщении #1192559 писал(а):

Откровенно говоря, вопросы довольно-таки странные... Но допустим.
Я Вам задам несколько уточняющих вопросов.
1. Какой смысл Вы вкладываете в слова "гармонические колебания"? (это ко второму вопросу и частично к первому)
2. В чём Вы видите смысл начальных условий при решении дифференциального уравнения? (это к третьему вопросу)
3. Вы могли бы привести пример колебаний, подходящий к приведённым здесь уравнениям?

1. Никакого смысла не вкладываю, руководствуюсь только определением: "Гармонические колебания - колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному, косинусоидальному) закону".
2. Смысла не вижу вообще, т. к. с дифференциальными уравнениями ещё не имел дела. Зато на математическом анализе была тема про определённые интегралы, но ни про какие начальные условия ничего не было. Поэтому и интересуюсь, как это понимать.
3. Наверное, нет, не мог бы.

[Munin]

Колебания - штука сложная. Обсудите аналогичные вопросы на более простом примере: свободное падение точки по вертикали, $z(t)=-gt^2/2.$ Надеюсь, на этом примере, более хорошо знакомом, вам будет проще состыковать физику с математикой.

[NPrim]

maraul
Я понимаю Ваши затруднения, которые матерым математикам и физикам кажутся странными и смешными.

Мне ближе экономика, и я стараюсь подыскивать для себя простые примеры из этой области. Может быть, такой пример и Вам будет понятен.

maraul в сообщении #1192557 писал(а):

3) Почему нужно интегрировать и почему начальное условие $x(0) = x_0$?

Один бизнесмен зарабатывает по 100 рублей в секунду каждую секунду. Он никогда не тратит ни копейки, потому что является СБВВ (сферическим бизнесменом в вакууме). Сколько денег у него будет 1 января 2018 года в 00 часов 00 минут 00 секунд по Гринвичу?

Попробуйте ответить на этот вопрос. У Вас не получится.

Почему не получится? Потому что, чтобы найти ответ,

1. необходимо, прежде всего, указать сколько денег у него было в какой-то начальный момент времени (например, сегодня, 14 февраля 2017 года в 00 часов 00 минут 00 секунд по Гринвичу у него был ровно миллиард рублей). Это и есть начальные условия.
2. Потом надо проинтегрировать ежесекундный заработок СБВВ за весь период от начального момента до конечного момента времени. Так мы узнаем, сколько он заработает за весь этот период.
3. Потом надо к начальной сумме прибавить заработанную.

maraul в сообщении #1192563 писал(а):

Зато на математическом анализе была тема про определённые интегралы, но ни про какие начальные условия ничего не было.

Определенный интеграл -- это, говоря языком нашей экономической задачи, сколько денег заработал СБВВ за определенный период времени (пункт 2 списка). Это отличается от вопроса, сколько денег у него будет в какой-то определенный момент времени.

Когда Вы находите неопределенный интеграл, там есть еще постоянная. Она сокращается, когда Вы используете формулу Ньютона-Лейбница, но эта постоянная имеет смысл -- это то самое начальное условие.

maraul в сообщении #1192557 писал(а):

1) Что такое в этой задаче зависимость смещения точки от времени?

Это просто какую координату имеет точка в каждый момент времени.

maraul в сообщении #1192557 писал(а):

2) Если уже есть уравнение скорости, которое мы интегрируем, то имеет ли значение то, что колебания гармонические? Почему?

Вы, наверное, думаете, что указание на то, что колебания являются гармоническими, -- это какое-то дополнительное условие, да?

На самом деле, эти слова просто обозначают тип колебаний, который очевиден из уравнения скорости. Скорость-то меняется по гармоническому закону, и по такому же закону будет меняться координата точки в этой задаче. То есть слова о гармонических колебаниях избыточны. Они нужны только для того, чтобы ученики запомнили термин, чтобы он ассоциировался у нас с формулами.

[Metford]

maraul
Я Вам сейчас коротко попробую что-то рассказать, но, видимо, Вам ещё работать и работать над всем этим...

В принципе, было бы лучше, конечно, начать с примера попроще, но раз уж заявлены колебания - будем разбираться с колебаниями. Можно рассмотреть такую систему: на гладкой поверхности (т.е. трение не учитывается) лежит тело, прикреплённое к пружине. Оно сначала находится в положении равновесия. Его выводят из этого положения (растягивая или сжимая пружину) и отпускают - тело начинает совершать колебания. Вот если деформация пружины была малой, то эти колебания окажутся гармоническими. То есть если ввести ось координат $x$, вдоль которой происходят колебания, и приписать равновесному положению тела координату $x=0$, то изменение координаты со временем будет иметь вид $x(t)=a\cos\omega t$, где $\omega$ - частота колебаний. Заметьте, что если положить $t=0$, то получится $x=a$ - максимальное значение координаты, её амплитудное значение. Это соответствует постановке задачи: в начальный момент тело отклонено. В Вашей задаче нужно как раз найти зависимость $x(t)$, только начальное значение координаты будет не как у меня в примере, а $x_0$.
Дальше, проекция скорости на ось $x$ - производная от функции $x(t)$. Так как производная косинуса - синус, то проекция скорости со временем тоже меняется по гармоническому закону: $v_x=\frac{dx}{dt}=-a\omega\sin\omega t$. Тело движется то в одну, то в другую сторону, причём величина скорости меняется от нуля до амплитудного значения $a\omega$.

А теперь к Вашей задаче. У Вас наоборот задана зависимость проекции скорости от времени, а найти нужно зависимость от времени координаты $x(t)$. Делается это интегрированием (обратная процедура к дифференцированию), но при этом возникнет произвольная константа. Чтобы избавиться от неё, нужно знать, в каком месте вообще начались колебания. Это, в конечном счёте, ответы на Ваши вопросы.

[SomePupil]

maraul в сообщении #1192557 писал(а):

Если уже есть уравнение скорости, которое мы интегрируем, то имеет ли значение то, что колебания гармонические? Почему?

А Вы случаем не подумали, что $v_x(t)$ можно интегрировать только в случае гармонических колебаний?

Если это имеет место быть, то Вам надо освоиться с определениями интеграла и производной $-$ объять эти понятия мощным потоком мысли, и вопросы отпадут сами собой.

maraul в сообщении #1192563 писал(а):

Зато на математическом анализе была тема про определённые интегралы, но ни про какие начальные условия ничего не было.

Какое определение интеграла дали на занятиях?

[Pavia]

maraul в сообщении #1192557 писал(а):

3) Почему нужно интегрировать и почему начальное условие $x(0) = x_0$?

Это на языке математики написано что вместо пиктограммы $x(0)$ мы будем использовать пиктограмму $x_0$. Просто поменяли обозначения. Так как оно короче при записи. Во-вторых при такой записи читателю проще уловите смысл о том, что мы перешли от функции к постоянной.

maraul в сообщении #1192563 писал(а):

Зато на математическом анализе была тема про определённые интегралы, но ни про какие начальные условия ничего не было.

Плохо учили. Неправильно выучили.

maraul в сообщении #1192557 писал(а):

2) Если уже есть уравнение скорости, которое мы интегрируем, то имеет ли значение то, что колебания гармонические? Почему?

Тут идёт отсылка к разделу главы. Что-бы очередной рас напомнить ученикам, а что-же они учат?
Но это не значит что в других задачах этот термин будет лишён смысла. Если я не ошибаюсь, то некоторые методы решения дифференциальных уравнений требуют гармонического сигнала.

[maraul]

Я разобрался, наконец-то!) Спасибо всем большое! От каждого чуть-чуть того, чуть-чуть этого - и вот уже не всё так сложно) Отдельное спасибо Metford и NPrim, на парах хрен дождёшься таких хороших объяснений.