Не получается доказать

[RgWhite]

Дано $w \in SL(2,R)$, т.е. $wz=\frac{az+b}{cz+d}$, $ad-bc=1$
$z=x+iy$, $w=u+iv$.
Нужно доказать, что $\frac{dx\wedge dy}{y^2}=\frac{du\wedge dv}{v^2}$.
Я делаю так:
дифференцируем $w$ по $z$, получаем $dw=\frac{dz}{(cz+d)^2}$, отсюда
$du=\frac{dx}{(cz+d)^2}$, $dv=\frac{dy}{(cz+d)^2}$. Тогда
$du\wedge dv=\frac{1}{(cz+d)^4}dx\wedge dy$, а дальше я что-то непойму как... может не так надо?
Помогите пожалуйста!

[Brukvalub]

RgWhite писал(а):

Дано $w \in SL(2,R)$, т.е. $wz=\frac{ax+b}{cx+d}$, $ad-bc=1$
$z=x+iy$, $w=u+iv$.
Нужно доказать, что $\frac{dx\wedge dy}{y^2}=\frac{du\wedge dv}{v^2}$.
Я делаю так:
дифференцируем $w$ по $z$, получаем $dw=\frac{dz}{(cz+d)^2}$, отсюда

У Вас w зависит от х - вещественной части переменной z, поэтому дифференцирование выполнено неверно.

[RgWhite]

ой это я описался, поправил в первом посте))

[Brukvalub]

Тогда скажу правду - Вы неверно отделили вещ. и мнимую части при вычислении $du=\frac{dx}{(cz+d)^2}$, $dv=\frac{dy}{(cz+d)^2}$.

[RgWhite]

понял, тогда по другому $dw=\frac{dz}{(cz+d)^2}$, $dw'=\frac{dz'}{(cz'+d)^2}$, где ' это сопряжение. Тогда
$dw\wedge dw'=\frac{1}{|cz+d|^4}dz\wedge dz'$, подставим выражения через x, y, u, v получим
$du\wedge dv=\frac{1}{|cz+d|^4}dx\wedge dy$

[Brukvalub]

RgWhite писал(а):

тогда по другому $dw=\frac{dz}{(cz+d)^2}$, $dw'=\frac{dz'}{(cz'+d)^2}$

И по-другому - вышло не лучше, чем раньше. Та же ошибка, только в профиль.

[RgWhite]

так $du+idv=\frac{1}{|cz+d|^4}(cz'+d)^2(dx+idy)$ ? Что-то у меня в итоге получились страшные выражения..

[Brukvalub]

RgWhite писал(а):

Что-то у меня в итоге получились страшные выражения..

Попробуйте их упростить. Факт Вы доказываете верный - это просто инвариантность гиперболической метрики относительно группы движений гиперболической плоскости в ее модели Пуанкаре для верхней полуплоскости, так что теперь должно получиться.

[RgWhite]

получилось нечто такое
$du\wedge dv=\frac{1}{|cz+d|^8}[(cx+d)^2-c^2y^2)^2+4c^2y^2(cx+d)^2](dx\wedge dy)$
дальше что-то никак