Порядок и энтропия. Фейнман, Больцман, Шеннон

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1191475 писал(а):

Если вы рассматриваете задачи о шариках сами по себе (а не с целью дальнейшего перехода к молекулам и всему такому), то это уже само по себе не имеет отношения к физике.

Вы, думаю, хотели написать про переход к большому числу молекул. Да, термодинамика - это предел больших чисел. Но в основах именно вероятности состояний и шенноновская энтропия. Тут можно вспомнить хотя бы распределение Гиббса.

warlock66613 в сообщении #1191475 писал(а):

Дело в том, что энтропия - та, которая в термодинамике и статистической физике, - ни с чьим знанием или незнанием не связана.

Блажен кто верует. Вероятности, будучи математическими абстракциями, "в реальности" всегда связаны со знанием и незнанием. Игнорирование этого факта приводит к парадоксам.

На самом деле, мы опасно приблизились к философскому вопросу, что такое "на самом деле".

[warlock66613]

druggist в сообщении #1191476 писал(а):

это основной постулат статфизики

Статфизики или эргодической теории?
UPD: цитата из учебника Матвеева:

Цитата:

Если считать эргодическую гипотезу справедливой, то, пользуясь в классическом случае теоремой Лиувилля, а в квантовом случае — принципом детального равновесия, можно доказать постулат равновероятности.

(Это не является ответом на мой вопрос, но отчасти разъясняет ситуацию.)

-- 10.02.2017, 17:16 --

realeugene в сообщении #1191477 писал(а):

На самом деле, мы опасно приблизились к философскому вопросу, что такое "на самом деле".

Я убеждён, что это исключительно ваша вина. То, что мы можем ввести понятие энтропии не прибегая к мутным вещам вроде "знания" и исследовать обычными физическими методами, не привлекая ни психологии ни философии, - это замечательный факт, который вы пытаетесь обесценить.

-- 10.02.2017, 17:21 --

realeugene в сообщении #1191477 писал(а):

Блажен кто верует.

Это не я верую, это вы верите, что ваше знание мистическим образом влияет на энтропию излучения в ранней вселенной.

[druggist]

warlock66613 в сообщении #1191478 писал(а):

Статфизики или эргодической теории?

То, что это основной постулат статфизики -абсолютно точно.

realeugene в сообщении #1191471 писал(а):

Так и несколько субъективных бит энтропии, на которые вы в принципе можете уменьшить энтропию окружающего мира, посмотрев на уличный термометр и изменив своё знание об окружающем мире

Перцепция информации нашими органами чувств и последующее восприятие это тоже необратимый физический процесс, так что в целом...2-й закон рулит

[realeugene]

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #1191478 писал(а):

Это не я верую, это вы верите, что ваше знание мистическим образом влияет на энтропию излучения в ранней вселенной.

Давайте, не будем устраивать в ПРР обсуждение антропного принципа.

-- 10.02.2017, 16:51 --

(Оффтоп)

druggist в сообщении #1191479 писал(а):

Перцепция информации нашими органами чувств и последующее восприятие это тоже необратимый физический процесс, так что в целом...2-й закон рулит

Угу. В результате энтропия мозга возросла. Потому что мозг оказался в нескольких состояниях, увидевших различную температуру на улице. Где-то я это уже встречал.
Эверетт!

[Uchitel'_istorii]

realeugene в сообщении #1190905 писал(а):

druggist в сообщении #1190877 писал(а):

Значит, черные и белые молекулы -- это на самом деле молекулы одного вещества, только с двумя разными энергиями. Я прав?

Нет. То, что по разные стороны перегородки находились разные газы, и при смешивании возрастает их энтропия - это принципиально в этом примере. Если исходно по разные стороны перегородки находится один и тот же газ, то после выдёргивания перегородки и перемешивания газа в сосуде энтропия не изменится.

В первом примере, где у Фейнмана в 2 раза расширяется изотермически один газ, макросостояние меняется или нет? По Киттелю получается, что макросостояние (сумма энергий частиц) не меняется до и после расширения.

Лукомор в сообщении #1191365 писал(а):

До снятия перегородки возможно всего $(V_1)^{n_1}$ состояний в каждом из двух замкнутых объёмов, после снятия перегородки $(V_2)^N$ во всем объёме цилиндра...

Что такое V_2? Объем всего цилиндра? Тогда \Delta S = k(\ln{V^N} - \ln{(0,5V)^{0,5N}}) = k \ln{\frac{V^{0.5N}V^{0.5N}}{0.5^{0.5N}V^{0.5N}}} = k\ln{\frac{V^{0.5N}}{0.5^{0.5N}}}
= 0,5kN\ln{(2V)}. Ответ не совпадает.

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1191714 писал(а):

В первом примере, где у Фейнмана в 2 раза расширяется изотермически один газ, макросостояние меняется или нет?

Так как мы можем отличить начальное и конечное состояние газа при помощи наших грубых измерительных инструментов (например, измерив деревянной линейкой размеры сосуда, в котором находится этот газ), значит, это - разные макросостояния. Несмотря на то, что у этих макросостояний одинаковая внутренняя энергия.

Uchitel'_istorii в сообщении #1191714 писал(а):

$\Delta S = k\left(\ln{V^N} - \ln{\left(0,5V\right)^{0,5N}}\right)$

Вообще-то $\Delta S = k\left(\ln{V^N} - \ln{\left(\left(0,5V\right)^{0,5N}\right)^2}\right)$

[Лукомор]

Uchitel'_istorii в сообщении #1191714 писал(а):

Ответ не совпадает.

Да всё там совпадает!
Вы меня провоцируете, а зря...
Есть один газ, количество молекул $n_1$ заключено в объёме $V_1$.
Есть второй газ, количество молекул $n_2=n_1$ заключено в другом таком же объёме $V_1$.
Всего молекул: $N=n_1+n_2$.
Энтропия первого газа до снятия перегородки:
$S=k\ln(V_1)^{n_1}$.
Энтропия первого газа после снятия перегородки:
$S=k\ln(V_2)^{n_1}$
Разность энтропий для первого газа:
$\Delta S=k\ln(V_2)^{n_1}-k\ln(V_1)^{n_1}=k\ln(\frac{V_2}{V_1})^{n_1}$
Энтропия второго газа до снятия перегородки:
$S=k\ln(V_1)^{n_2}$.
Энтропия второго газа после снятия перегородки:
$S=k\ln(V_2)^{n_2}$
Разность энтропий для второго газа:
$\Delta S=k\ln(V_2)^{n_2}-k\ln(V_1)^{n_2}=k\ln(\frac{V_2}{V_1})^{n_2}$
Суммарное изменение энтропии в результате снятия перегородки:
$\Delta S=k\ln(\frac{V_2}{V_1})^{n_2}+k\ln(\frac{V_2}{V_1})^{n_1}$
или
$\Delta S=k[\ln(\frac{V_2}{V_1})^{n_2}\cdot(\frac{V_2}{V_1})^{n_1}]$
или
$\Delta S=k\ln\frac{V_2^N}{(V_1)^{n_1}\cdot(V_1)^{n_2}}$
или
$\Delta S=k\ln\frac{V_2^N}{V_1^N}=k\ln(\frac{V_2}{V_1})^N=kN\ln\frac{V_2}{V_1}$

[druggist]

Лукомор в сообщении #1191365 писал(а):

До снятия перегородки возможно всего $(V_1)^{n_1}$ состояний в каждом из двух замкнутых объёмов, после снятия перегородки $(V_2)^N$ во всем объёме цилиндра...

Почему только Фейнман не додумался до такой простого выражения для подсчета состояний?

Потому что оно неправильно по трем соображениям. Количество способов размещения $N$ различимых независимых частиц по $G$ ячейкам из элементарных соображений $G^N$. Объем газа не может быть числом ячеек, его надо поделить на объем элементарной ячейки $a^3$. Как его выбрать, это отдельный и долгий разговор. Кроме того состояние частицы характеризуется определенным импульсом. Как добавить эти состояния? И третье, если частицы неразличимы, то выражение для числа состояний изменится. Оказывается, для случая $N$ много меньше $G$ приближенное выражение будет $G^N/N!$

[Лукомор]

druggist в сообщении #1191949 писал(а):

Почему только Фейнман не додумался до такой простого выражения для подсчета состояний?

Потому что это формула Больцмана?!

-- Вс фев 12, 2017 13:15:51 --

druggist в сообщении #1191949 писал(а):

Потому что оно неправильно по трем соображениям.

Ну хорошо, она не правильная по трем соображениям... Я же не спорю!
Напишите правильную формулу Больцмана для изменения энтропии для данных условий...

[druggist]

Лукомор в сообщении #1191968 писал(а):

Напишите правильную формулу Больцмана для изменения энтропии для данных условий...

Если не ошибаюсь, на могилке у него выгравировано $S=k log W$, правильно для любых условий

[Peresukhin]

druggist в сообщении #1191949 писал(а):

Объем газа не может быть числом ячеек, его надо поделить на объем элементарной ячейки $a^3$. Как его выбрать, это отдельный и долгий разговор.

Гросберг и Хохлов на стр.96 в
http://www.math.ru/lib/author/Hohlov
говорят:

Цитата:

Можно, конечно, критиковать описанный метод подсчета состояний за замену непрерывноrо набора положений молекулы дискретным, но мы увидим, что размер ячейки а не войдет в окончательные выражения для физически наблюдаемых величин, а это и будет означать, что способ дискретизации пространства и подсчета
состояний совершенно несуществен.

[realeugene]

druggist в сообщении #1191949 писал(а):

Объем газа не может быть числом ячеек, его надо поделить на объем элементарной ячейки $a^3$. Как его выбрать, это отдельный и долгий разговор.

Почему бы не выбрать элементарный объём в качестве единицы измерения объёма, и, тем самым, избежать отдельных и долгих разговоров?

druggist в сообщении #1191949 писал(а):

И третье, если частицы неразличимы, то выражение для числа состояний изменится.

Для изменения энтропии одного газа это не важно, различимы его молекулы или нет.

[druggist]

realeugene в сообщении #1192039 писал(а):

Почему бы не выбрать элементарный объём в качестве единицы измерения объёма, и, тем самым, избежать отдельных и долгих разговоров?

А почему единице, а не двойке?

realeugene в сообщении #1192039 писал(а):

Для изменения энтропии одного газа это не важно, различимы его молекулы или нет.

Вы читайте внимательно, речь шла о подсчете числа состояний

[Лукомор]

druggist в сообщении #1191949 писал(а):

Объем газа не может быть числом ячеек, его надо поделить на объем элементарной ячейки $a^3$.

Можно и поделить.
Выбрать объём элементарной ячейки $a^3=1$, и поделить!
Можно сделать еще проще.
Поскольку, до того как перегородка убрана, молекулы в каждой половине цилиндра имеют примерно равные импульсы, можем считать, что левая половина цилиндра - это одна большая ячейка, и правая половина цилиндра, это вторая ячейка.
После того, как перегородку убрали, каждая молекула может находиться в любой из двух ячеек.
(А до того она могла находиться только в одной ячейке).
Поэтому энтропия каждой молекулы увеличилась на
$\frac{\Delta S}{N}=k(\ln 2-\ln 1)=k\ln 2$

[realeugene]

druggist в сообщении #1192044 писал(а):

А почему единице, а не двойке?

Потому что говорят "единица измерения", а не "двойка измерения".

В физике мы вольны решать задачи в наиболее удобных для нас единицах измерения, переходя к кубометрам лишь в ответе.

druggist в сообщении #1192044 писал(а):

речь шла о подсчете числа состояний

Речь тут шла не просто о подсчёте числа состояний, а ради иллюстрации выражения для изменения энтропии идеального газа. Тут ранее совершенно правильно заметили, что изменение энтропии идеального газа не зависит от того, различимы его молекулы или нет. Так что, проще его молекулы считать различимыми.