Один диск на другом

[fred1996]

Пусть у нас имеется большой тяжелый диск, вращающийся с постоянной угловой скоростью $\omega$. На него сверху кладут небольшой диск радиуса $r$ так что расстояния между осями дисков $d>r$. Оси обоих дисков закреплены. Под воздействием большого крутящегося диска малый диск начинает крутиться. Мы предполагаем известными к-т трения $\mu$ и массу малого диска $m$. Найти устоявшуюся угловую скорость вращения малого диска и силу, с которой приходится удерживать его ось.

[ihq.pl]

Предлагаю такой вариант: на точку малого диска действует сила $kv$, где $k$ - коэффициент трения, $v$ - скорость этой точки относительно большого диска. Так как система в равновесии, суммарный момент относительно оси малого диска, создаваемый силами трения $M=0$. Может этого и хватит?

[fred1996]

Вообще-то для сухого невязкого трения считается что сила трения не зависит от скорости. Хотя для больших скоростей она даже уменьшается.
Так что вариант не подходит.
Считается, как обычно, что сила трения не зависит от скорости, пропорциональна силе реакции опоры (нормальной силе) и направлена противоположно вектору относительной скорости. Мы считаем, что давление верхнего диска на нижний распределено равномерно.

[ihq.pl]

все равно, думаю, главное условие $M(\omega)=\int_S dM(\omega)=0$

[fred1996]

То что задача статическая относительно вращения, это понятно.
Но как это использовать конструктивно?

[ihq.pl]

ну надо найти явное выражение для $M(\omega)$. Например, $dM=\rho gDdS$, где $D$ - плечо

[fred1996]

У вас вообще-то вращаются оба диска. Так что результирующий момент, который ноль, есть функция общей геометрии плюс двух угловых скоростей.

[ihq.pl]

fred1996 в сообщении #1192197 писал(а):

У вас вообще-то вращаются оба диска. Так что результирующий момент, который ноль, есть функция общей геометрии плюс двух угловых скоростей.

вообще-то, это у вас вращаются оба диска
ну да. Только непонятно, что значит "функция общей геометрии"?
Вам надо найти плечо. Для этого надо знать направление скорости точки малого диска относительно большого

[fred1996]

Мне кажется, вы не совсем понимаете постановку задачи.
У нас имеется малый диск, а под ним вращается большой диск с заданной угловой скоростью.
Задано расстояние между их осями. Оба диска в результате крутятся. В каждой точке их соприкосновения имеется сила трения, направление которой зависит от относительной скорости точек соприкосновения. В общем виде при произвольных угловых скоростях вы можете сосчитать из геометрических и кинематических соображений направления этих сил трения и проинтегрировать по всей площади поверхности малого диска все моменты этих сил. Разультатом будет неберущийся в обычных функциях двойной интеграл.
Но у нас есть подсказка, что этот интеграл в результате дает ноль.

[ihq.pl]

не сразу обратил внимание на раздел. Олимпиадные задачи. То есть, сами вы знаете решение?
И что, смысл в том, чтобы правильно записать интеграл и суметь воспользоваться подсказкой?

[fred1996]

Смысл в том, чтобы прекратить треп, и написать что-нибудь вразумительное.
И да, данный раздел подразумевает, что автор заглавного поста знает решение, или по крайней мере основную его часть.
Данную задачу я откопал в эстонских олимпиадах, опубликованных на английском с помощью гугловского автопереводчика с русского.
Утверждается, что эта задача встречалась в одной из советских олимпиад, либо публиковалась в Кванте.

[ihq.pl]

fred1996 в сообщении #1192303 писал(а):

Смысл в том, чтобы прекратить треп

ну это как-то слишком по эстонски
да и задачка тоже какая-то эстонская

[warlock66613]

(Наверняка неправильно, но у меня такой ответ)

Установившаяся скорость вращения малого диска равна $\omega$, соответственно сила равна $\mu m g.$

[fred1996]

warlock66613 в сообщении #1192482 писал(а):

(Наверняка неправильно, но у меня такой ответ)

Установившаяся скорость вращения малого диска равна $\omega$, соответственно сила равна $\mu m g.$

Как это ни парадоксально, у меня такой же ответ, а вот эстонцы почему-то дают $-\omega$.

А задачка мне кажется забавнаой. Большинство ставит в тупик. С одной стороны решение тривиально с точки зрения кинематики, а с другой как-то трудно это представить.

Остается понять, какая сила трения будет если $d<r$ похоже что та же.

[warlock66613]

fred1996 в сообщении #1192516 писал(а):

А задачка мне кажется забавнаой.

Мне понравилась. Я полдня интегралы писал, Mathematic'у мучил...