Порядок и энтропия. Фейнман, Больцман, Шеннон

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1190570 писал(а):

Просмотрел до 28 стр., дальше не читал, т.к. идет про магнитные поля, которые Фейнман еще не давал.

Там вполне достаточно элементарных сведений о магнитах на уровне школы.

[Anton_Peplov]

Более того, на магниты и магнитное поле там можно (а может быть, и нужно) забить. Просто система битов. "Стрелка вниз - стрелка вверх", "0 - 1", "мужчина - женщина". Что угодно. Пусть будут стрелочки. У системы изменилось микросостояние, если хотя бы одна стрелочка изменила ориентацию. У системы изменилось макросостояние, если изменилось суммарное количество повернутых вверх стрелочек. Энергия системы равна этому суммарному количеству, умноженному на постоянный коэффициент. Всё.

[Лукомор]

Uchitel'_istorii в сообщении #1190570 писал(а):

То, что объем на частицу увеличивается, -- непонятно, т.к. суммарный объем не изменился и суммарное количество частиц не изменилось;

Не забываем, что речь идет об одной частице. Объем, доступный любой одной частице теперь удвоился.

Uchitel'_istorii в сообщении #1189943 писал(а):

Тогда в соответствии с формулой $W=N!\;/\;\prod _{i}N_{i}!$ получаем $W = \tfrac{6!}{3!\cdot 3!} = 20$

Для достаточно большого количества молекул $N$, применяя приближенную формулу Стирлинга для вычисления факториала, получаем $W=\frac{N!}{(\frac{N}{2})!(\frac{N}{2})!} \approx 2^N$, откуда $\ln(W)=\ln{2^N}=N{\ln2}$, и формула $\Delta S=k\ln{W}$ превращается в $\Delta S=kN\ln 2$.

[Uchitel'_istorii]

Лукомор в сообщении #1190622 писал(а):

Для достаточно большого количества молекул $N$, применяя приближенную формулу Стирлинга для вычисления факториала, получаем $W=\frac{N!}{(\frac{N}{2})!(\frac{N}{2})!} \approx 2^N$, откуда $\ln(W)=\ln{2^N}=N{\ln2}$, и формула $\Delta S=k\ln{W}$ превращается в $\Delta S=kN\ln 2$.

По Киттелю $g(N,0)=\frac{N!}{(1/2 N)!(1/2 N)!}\approx 2^N (\frac{2}{\pi N})^{1/2}$.
И Вы пишете изменение энтропии $\Delta S$. По рассчету не понятно, между чем и чем изменение. Мне нужна максимальная определенность в понятиях, иначе не пойму (я и так ничего не понимаю).

druggist в сообщении #1190145 писал(а):

Uchitel'_istorii в сообщении #1190138 писал(а):

Я предполагаю, что каждая молекула занимает объем V/N , и 2 молекулы в этом объеме оказаться не могут.

Это Вы у Фейнмана прочли?:)

В начале §5 Фейнман пишет:

Цитата:

Итак, мы должны теперь потолковать о том, что понимать под беспорядком и что — под порядком. Дело не в том, что по- рядок приятен, а беспорядок неприятен. Наши смешанные и несмешанные газы отличаются следующим. Пусть мы разделили пространство на маленькие элементы объема. Сколькими спо- собами можно разместить белые и черные молекулы в элементах объема так, чтобы белые оказались на одной стороне, а черные— на противоположной? И сколькими способами можно их разме- стить без этого ограничения? Ясно, во втором случае способов гораздо больше. Мы измеряем «беспорядок» в чем-то по числу способов, каким может быть переставлено его содержимое, лишь бы внешне все выглядело без изменения. Логарифм числа способов —• это энтропия. В цилиндре с разделенными газами число способов меньше и энтропия меньше, т. е. меньше «бес- порядок».

Каково соотношение маленьких элементов объема и молекул, маленьких элементов больше?

В этом абзаце Фейнман про энергию ничего не пишет, а пишет просто про перестановки молекул. Судя по Киттелю, "способами" нужно считать не перестановки молекул, а перестановки энергий молекул. Значит, черные и белые молекулы -- это на самом деле молекулы одного вещества, только с двумя разными энергиями. Я прав?

[druggist]

Тут вот еще что надо иметь в виду. Формула для изменения энтропии идеального газа при изотермическом изменении объема, $\Delta S=Nk\ln\frac{V_2}{V_1}$ - та самая, что дает "$ln2$" после чего начинаются рассуждения про порядок и хаос, число состояний и пр., выводится исключительно из термодинамики, то есть, из определения Клаузиуса изменения термодинамической энтропии при квазистационарном процессе $\Delta S=\Delta Q/T$ и эмпирических законов идеального газа. Никакого отношения перестановка молекул, между ячейками на которые каким-то образом разбивается объем, подсчет способов и прочая комбинаторика к выводу этого соотношения не имеет. У Фейнмана далее довольно пространные рассуждения, имеющие смысл некоторого предварения постулатов статистической физики. Если бы на этом этапе можно было получить из комбинаторики какие-либо четкие и ясные соотношения он бы из дидактических соображений их привел бы, а пока у него только расплывчатый "физсмысл". Мне кажется, в данном примере надо плюнуть на комбинаторику, шарики, ячейки и пр. и приступить к изучению статфизики.

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1190857 писал(а):

Каково соотношение маленьких элементов объема и молекул, маленьких элементов больше?

Вспомните, что такое идеальный газ.

druggist в сообщении #1190877 писал(а):

Значит, черные и белые молекулы -- это на самом деле молекулы одного вещества, только с двумя разными энергиями. Я прав?

Нет. То, что по разные стороны перегородки находились разные газы, и при смешивании возрастает их энтропия - это принципиально в этом примере. Если исходно по разные стороны перегородки находится один и тот же газ, то после выдёргивания перегородки и перемешивания газа в сосуде энтропия не изменится.

[Munin]

druggist в сообщении #1190877 писал(а):

Если бы на этом этапе можно было получить из комбинаторики какие-либо четкие и ясные соотношения он бы из дидактических соображений их привел бы

Неверно. Можно, и их привёл Киттель. Почему их не привёл Фейнман - вопрос отдельный, но явно не потому, что не знал. (Я так понимаю, что он хотел избежать квантовых аргументов.)

druggist в сообщении #1190877 писал(а):

Мне кажется, в данном примере надо плюнуть на комбинаторику, шарики, ячейки и пр. и приступить к изучению статфизики.

А в статфизике с этими "шариками и ячейками" всё равно придётся иметь дело.

[Лукомор]

Uchitel'_istorii в сообщении #1190857 писал(а):

И Вы пишете изменение энтропии $\Delta S$. По рассчету не понятно, между чем и чем изменение. Мне нужна максимальная определенность в понятиях, иначе не пойму (я и так ничего не понимаю).

Вы просто не туда думаете!
На самом деле всё гораздо проще и ваши формулы с перестановками здесь ни при делах.
Возьмите сначала Ваш рисунок из первого сообщения, там где слева три белых молекулы, справа три черных молекулы, между ними - перегородка.
Теперь нарисуйте ровно то же самое: слева три белых молекулы, справа - три черных молекулы, и между ними нет перегородки.
Вот между этими двумя состояниями, как раз, изменение энтропии составляет $k\ln2$ на каждую молекулу.
Чтобы убедиться в этом, занумеруйте слева направо от $1$ до $6$ позиции, которые занимают молекулы на Вашем рисунке, а не сами молекулы. Поскольку энергии молекул равны - нахождение одной из молекул в одной из этих ячеек как раз и будет ее микросостоянием.
Теперь самую левую молекулу в ячейке закрасьте чёрным, пусть это будет "меченая" молекула. Остальные пять будут белые, для этого опыта.
Пока есть перегородка, черная молекула может находиться в одном из трех микросостояний:$1, 2$ или $3$.
Обозначим количество возможных микросостояний для данной молекулы $N_1=3$.
Теперь уберем перегородку.
Черная молекула по прежнему в первой ячейке.
Но количество возможных ее микросостояний увеличилось до $N_2=6$, энтропия в расчёте на одну молекулу увеличилась на $k\ln\frac{N_2}{N_1}=k\ln2$.
Заметьте, Фейнман ничего не говорит от максимальной возможной энтропии для данной системы. Речь идет только об энтропии на одну молекулу. И речь идет только о самом моменте убирания перегородки.
Молекулы остались в тех же микросостояниях, а энтропия увеличилась на $\ln\frac{V_2}{V_1}=\ln2$ для каждой молекулы...

(Оффтоп)

Никогда не думал, что придется "отвечать за базар Фейнмана"

[warlock66613]

Лукомор в сообщении #1190981 писал(а):

Вот между этими двумя состояниями, как раз, изменение энтропии составляет $k\ln2$ на каждую молекулу.

Неправда это. Мы считаем энтропию молекул, а не перегородки. И энтропия увеличивается не в результате внешнего влияния, а самопроизвольно. Сразу после убирания перегородки энтропия мала (равна энтропии до убирания перегородки), и лишь потом она увеличивается в результате перемешивания молекул. Кроме того, вы одно и то же микросостояние зачислили сразу в два макросостояния — так не делается.

[Peresukhin]

Тогда в соответствии в формулой
$W=N!\;/\;\prod _{i}N_{i}!$ будет $W = 2\cdot \tfrac{3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!} = 12$ в первом случае и $W = \tfrac{6!}{1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!} = 720$ во втором.

По-моему, тут дело в том, что на примере с шариками нельзя вычислить абсолютное значение энтропии, а можно найти только изменение энтропии. Поскольку смешение двух газов просто эквивалентно увеличению доступного объёма каждого газа, то можно сравнить два состояния, в которых начальный объём увеличился, например, в 2 и в 4 раза. Тогда формула даст изменение энтропии тем более близкую к $\ln2$, чем больше шариков будет рассматриваться.

[druggist]

Munin в сообщении #1190917 писал(а):

Неверно. Можно, и их привёл Киттель. Почему их не привёл Фейнман - вопрос отдельный, но явно не потому, что не знал. (Я так понимаю, что он хотел избежать квантовых аргументов.)

В чем смысл вообще этого параграфа у Фейнмана? В термодинамике вводится (вполне логично для данной науки) макроскопическая величина - энтропия - функция состояния, микроскопика которой по сравнению, например, с внутренней энергией, не очевидна. Пытаясь дать первоначальное представление, Фейнман приводит пример с увеличением этой термодинамической функции при увеличении объема газа в два раза. Дальнейшие нестрогие рассуждения это попытка связать энтропию с логарифмом числа различных способов размещения молекул по...чему? Чтобы узнать, надо изучать статфизику.

[Лукомор]

Peresukhin в сообщении #1191001 писал(а):

По-моему, тут дело в том, что на примере с шариками нельзя вычислить абсолютное значение энтропии, а можно найти только изменение энтропии.

Абсолютное значение энтропии нельзя вычислить вообще никогода, а можно найти только изменение энтропии, тут Вы абсолютно правы...

[Munin]

druggist в сообщении #1191019 писал(а):

В чем смысл вообще этого параграфа у Фейнмана?

Ну знаете, это надо встать, открыть, перечитать, подумать...

druggist в сообщении #1191019 писал(а):

В термодинамике вводится (вполне логично для данной науки)

Нет такой науки (самостоятельной). С 19 века нет.

[Лукомор]

warlock66613 в сообщении #1190999 писал(а):

И энтропия увеличивается не в результате внешнего влияния, а самопроизвольно

Совершенно с Вами согласен!
Однако, в результате внешнего влияния она также увеличивается.

Цитата:

"В виде примера подсчитаем разницу энтропий газа при одной температуре, но в разных объёмах" ФЛФ-4, стр.147.

.
Подсчитали.

Цитата:

"Например, при удвоении объема энтропия меняется на $Nk\ln2$" ФЛФ, там же.

Удвоение объема - это есть внешнее влияние в данном случае.
Потому что вслед за этой фразой идет пример про убирание перегородки,
в котором:

Цитата:

"энтропия на одну молекулу возрастает на $k\ln2$. Цифра 2 появилась оттого, что вдвое увеличился объем, приходящийся на одну молекулу. Странное обстоятельство! В нем проявилось свойство не самой молекулы, а свободного места вокруг нее".ФЛФ, там же.

[Munin]

Лукомор
Вы в чём-то хотите разобраться сами, или хотите помочь? В первом случае, откройте новую тему. Во втором, у вас это неудачно получается.