Компакты и точки

[SomePupil]

Кто-то из весьма бородатых топологов писал, что компакт является обобщением понятия «конечного множества точек » на случай произвольных топологических пространств. И действительно:

Из любого покрытия компакта можно выделить конечное подпокрытие, то же самое верно для конечного множества точек (берем по одному открытому множеству на каждую точку)

Компакт замкнут и ограничен. В случае $R^n$ это утверждение, очевидно, верно и для конечного множества точек $-$ у этого множества нет предельных точек, и оно ограничено. В произвольном топологическом пространстве замкнутые множества определяются как дополнения к открытым. Дополнение к конечному множеству точек — открыто, а следовательно, конечное множество точек замкнуто и в этом, более общем, смысле.

Образ непрерывной функции на компакте — компакт. Любая функция непрерывна на конечном множестве точек, и при этом её образ является конечным множеством точек.

Пересечение любой системы компактов — либо компакт, либо пустое множество (впрочем, пустое множество тоже формально компакт). Пересечение любой системы конечных множеств точек — либо конечное множество точек, либо пустое множество.

Объединение конечной системы компактов — компакт. Объединение конечной системы конечного множества точек — конечное множество точек.

Непрерывная функция ограничена на компакте и достигает на нем своих экстремальных значений (тут снова случай $\mathbb R^n$). То же самое можно сказать и о функции на конечном множестве точек.

Эти и другие соображения… Хотя, кого я обманываю $-$ эти и только эти соображения дают мне (нам?) повод думать, что при любых манипуляциях с компактами мы вольны представлять их как конечные множества точек, и такое восприятие на интуитивном уровне будет абсолютно безошибочным (или, лучше сказать, безукоризненным).

Так ли это на самом деле? Может быть, есть такое свойство, которое присуще произвольным компактам, но которого нет у конечных множеств точек?

P. S. Тут многие могут сказать, что существуют также паракомпакты и другие компакты, но речь идет именно об эталонных, советских компактах.

[popolznev]

SomePupil в сообщении #1191017 писал(а):

Может быть, есть такое свойство, которое присуще произвольным компактам, но которого нет у конечных множеств точек?

Как же оно может быть, если конечное множество (в любой топологии) компактно? Если некоторым свойством обладают все рыбы, то странно ожидать, чтобы этим свойством не обладала камбала.

[SomePupil]

popolznev в сообщении #1191022 писал(а):

Как же оно может быть, если конечное множество (в любой топологии) компактно? Если некоторым свойством обладают все рыбы, то странно ожидать, чтобы этим свойством не обладала камбала.

То есть, свою интуицию о рыбах я могу строить на понятной мне щуке. Или на карасе. Рассуждать о лососях на карасе! Странно, что такая простая мысль еще не пришла ко мне в голову.

P. S. Спасибо господин-чувак!

[popolznev]

Можете, конечно, попробовать. Только потом не жалуйтесь, когда вдруг встретятся рыбы, непохожие на карася.

[VanD]

SomePupil в сообщении #1191017 писал(а):

Эти и другие соображения… Хотя, кого я обманываю $-$ эти и только эти соображения дают мне (нам?) повод думать, что при любых манипуляциях с компактами мы вольны представлять их как конечные множества точек, и такое восприятие на интуитивном уровне будет абсолютно безошибочным (или, лучше сказать, безукоризненным).

Для этого Вам надо было поставить вопрос о том, есть ли свойство, имеющееся у любого конечного множества, которым обладают не все компакты. Но для конечного множества выходит, что объединение замкнутых всегда замкнуто, тогда как на $[0; 1]$ объединение $\bigcup\limits_{N\in\mathbb{N}}[0; 1 - \frac{1}{2^N}]$ портит Вашу идею.

[grizzly]

VanD в сообщении #1191123 писал(а):

Но для конечного множества выходит, что объединение замкнутых всегда замкнуто, тогда как на $[0; 1]$ объединение $\bigcup\limits_{N\in\mathbb{N}}[0; 1 - \frac{1}{2^N}]$ портит Вашу идею.

В Вашем примере суть проблемы не в конечности / бесконечности объединяемых множеств, а в бесконечном объединении. Ср. для примера бесконечное объединение в $\mathbb R$ одноточечных множеств $\bigcup\limits_{\alpha\in (0;1)}\alpha$.

SomePupil в сообщении #1191030 писал(а):

Рассуждать о лососях на карасе! Странно, что такая простая мысль еще не пришла ко мне в голову.

Я когда-то тоже был шокирован, поделив яблоки с соседским мальчишкой с помощью счётных палочек

[VanD]

grizzly в сообщении #1191132 писал(а):

В Вашем примере суть проблемы не в конечности / бесконечности объединяемых множеств, а в бесконечном объединении

Всё верно, у конечного множества не наберётся бесконечного числа подходящих подмножеств, а у некоторых компактов набирается. Я думал речь о том, чтобы любой компакт воспринимать в рассуждении, как конечное множество и на основе этого восприятия делать выводы.

Если мы пытаемся думать о произвольном компакте, как о конечном множестве, то озвученная мной проблема никуда не уходит.

[SomePupil]

VanD в сообщении #1191137 писал(а):

Я думал речь о том, чтобы любой компакт воспринимать в рассуждении, как конечное множество и на основе этого восприятия делать выводы.

Да, фактически у меня была такая мысль. Но тут мне сказали:

popolznev в сообщении #1191033 писал(а):

Только потом не жалуйтесь, когда вдруг встретятся рыбы, непохожие на карася.

То есть, помимо общих свойств, надо учитывать особенности конкретного объекта. А чем же так специфично конечное множество по сравнению с среднестатистическим компактом?

Вот я тут прочитал Ваш пост:

VanD в сообщении #1191123 писал(а):

Но для конечного множества выходит, что объединение замкнутых всегда замкнуто

И не понял этого утверждения. Например, "ку" $\mathbb Q$ $-$ объединение замкнутых $-$ не содержит иррациональных чисел, то есть, незамкнуто. Easy t'true?

[VanD]

SomePupil в сообщении #1191145 писал(а):

И не понял этого утверждения. Например, "ку" $\mathbb Q$ $-$ объединение замкнутых $-$ не содержит иррациональных чисел, то есть, незамкнуто. Easy t'true?

Я говорил об объединении замкнутых подмножеств.

Есть у Вас компакт $[0; 1]$. Вы хотите думать о нём, как о конечном множестве с какой-нибудь там топологией, но объединение замкнутых подмножеств конечного множества всегда замкнуто (в любой топологии на этом самом конечном множестве), а объединение замкнутых подмножеств $[0; 1]$ не всегда замкнуто, только и всего.

Можно по-другому:

Объединение конечных подмножеств конечного множества всегда конечное множество. Всюду заменить в этой фразе "конечных" на "компактных" нельзя.

[Someone]

SomePupil, не советую Вам рассчитывать на "аналогию" компактов и конечных множеств. Конечно, компактность в некотором смысле аналогична конечности, но аналогия весьма слабая. Существует очень мало свойств компактов, о которых можно судить по аналогии с конечными множествами.

[Anton_Peplov]

Я не улавливаю предмета разговора. Как уже было сказано,

popolznev в сообщении #1191022 писал(а):

конечное множество (в любой топологии) компактно

Поэтому обладает всеми свойствами, которые следуют из компактности. Считать ли на этом основании компактность "обобщением" конечности? Мне кажется, это вопрос вкуса. Хотите пример другого "стандартного" (т.е. имеющего общепринятое название, освященного в учебных теоремах и т.д.) топологического свойства конечного множества, которое выполняется в любой топологии? Вторая аксиома счетности. И, как следствие из нее, первая аксиома счетности и сепарабельность. Их тоже можно считать "обобщением конечности", если угодно.

Хотите пример, когда свойства конечных множеств не обобщаются на компактные? Извольте, самый простой: пересечение двух конечных множеств конечно, но пересечение двух компактных множеств не обязательно компактно. И, если я правильно понял Someone, чем дальше в лес, тем больше таких примеров.

[kp9r4d]

Anton_Peplov
Мне кажется ваш пример, он всё же о "квазикомпактности" (о т.н. "нехаусдорфовой компактности") в то время как компактность - это "хаусдорфовая компактность".

-- 10.02.2017, 16:08 --

Кстати, придумал аргумент, почему компакты ведут себя даже лучше, чем конечные множества. Произведение любого числа компактов - компакт, в то время как для конечных множеств такое верно не всегда.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #1191484 писал(а):

Мне кажется ваш пример, он всё же о "квазикомпактности" (о т.н. "нехаусдорфовой компактности") в то время как компактность - это "хаусдорфовая компактность".

Никогда не встречался с такой терминологией. Что в старых книгах компактность называют бикомпактностью, а счетную компактность - компактностью, это я слышал. Но вот чтобы ее еще и сегрегировали по хаусдорфовости...

[kp9r4d]

Anton_Peplov
Ну скажем так, есть две традиции компактность/хаусдорфова компактность (аналитическая) и квазикомпактность/компактность (алгебраическая), акценты смещены потому, что для аналитиков нехаусдорфовы компакты - лишь забавные контрпримеры, а для алгебраистов - это часть инструментария, позволяющая формализовать "бесконечно малые приращения" (нильпотенты в структурном пучке). Можете посмотреть это обсуждение на МО.
P.S. Не знаю, имел ли в виду ТС это или нет, но мне кажется, если и анализировать аналогию между конечными и компактными множествами то эффекты, которые даёт нехаусдорфовость нужно отсечь как не имеющие отношения к вопросу и впредь рассматривать только хаусдорфов случай.

[Someone]

kp9r4d в сообщении #1191499 писал(а):

Ну скажем так, есть две традиции компактность/хаусдорфова компактность (аналитическая) и квазикомпактность/компактность (алгебраическая)

Мне кажется, больше, чем две. Я, например, привык к терминам "бикомпактное пространство" (не обязательно хаусдорфово)/бикомпакт (хаусдорфов)/компакт (метризуемый), хотя наблюдалась постепенно усиливающаяся тенденция приставку "би" опускать.

kp9r4d в сообщении #1191499 писал(а):

но мне кажется, если и анализировать аналогию между конечными и компактными множествами то эффекты, которые даёт нехаусдорфовость нужно отсечь как не имеющие отношения к вопросу

Ну, в этой теме уже упоминались "любые топологии на конечном множестве"…