Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

[Doctor]

Доброго всем дня, раскладываю функцию в ряд Фурье и при вычислении $a_{0}$ столкнулся с интегралом от модуля, с которыми раньше не работал. После вдумчивого раскуривания учебника от Ильина и Садовничего родил такое решение, но не знаю, верное ли оно:
$a_{0} = \frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^{\pi}2+\left | x \right |dx=\frac{1}{\pi }\left (-\int_{-\pi}^{0}(2+x)dx + \int_{0}^{\pi}(2+x)dx \right ) = \frac{1}{\pi }\left ( 2\int_{0}^{\pi}(2+x)dx \right ) = \frac{2}{\pi }\left ( \int_{0}^{\pi}2dx + \int_{0}^{\pi}xdx \right ) = \frac{2}{\pi }\left ( 2\pi + \frac{\pi^{2}}{2}\right )=4+\pi$
Что скажете?

[Mikhail_K]

Объясните, как именно совершён переход от интеграла по $[-\pi,\pi]$ к сумме (или разности) интегралов по $[-\pi,0]$ и $[0,\pi]$.

Наверное, вначале нужно модуль не трогать, а просто представить интеграл по $[-\pi,\pi]$ в виде суммы двух интегралов от того же самого выражения. А что дальше?

И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок $[-\pi,\pi]$ именно на эти два отрезочка, именно точкой $0$, а не какой-нибудь другой точкой? Что в этой точке такого особенного?

-- 09.02.2017, 10:10 --

Doctor в сообщении #1190998 писал(а):

родил такое решение, но не знаю, верное ли оно

Решение, про которое Вы не знаете, верное ли оно, просто по определению не может быть верным.
Верное решение - это такое, которое не оставляет поводов для сомнений.

[Doctor]

Mikhail_K в сообщении #1191000 писал(а):

И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок $[-\pi,\pi]$ именно на эти два отрезочка, именно точкой $0$

Потому что эта точка делит его на две равные части?

Mikhail_K в сообщении #1191000 писал(а):

Объясните, как именно совершён переход от интеграла по $[-\pi,\pi]$ к сумме (или разности) интегралов по $[-\pi,0]$ и $[0,\pi]$.

Исключительно по аналогии, да и тут на форуме видел такой способ.

Не совсем понял - решение ошибочное?

[Mikhail_K]

Doctor в сообщении #1191002 писал(а):

Потому что эта точка делит его на две равные части?

Doctor в сообщении #1191002 писал(а):

Исключительно по аналогии
, да и тут на форуме видел такой способ.

Ну, мне понятно, что "вдумчивого раскуривания" учебника в Вашем случае не было.
Я даже не буду говорить, верное ли решение. Даже если оно верное (?), Вы его не понимаете. Задача решена не тогда, когда написаны какие-то рассуждения и получен правильный ответ, а когда этот ответ строго доказан и поэтому не может вызывать сомнений.
Рассуждение по аналогии не является корректным способом рассуждения в математике (во всяком случае, до тех пор, пока аналогия не подкреплена логикой).

Давайте решать с начала. Последуйте вот этому совету:

Mikhail_K в сообщении #1191000 писал(а):

Наверное, вначале нужно модуль не трогать, а просто представить интеграл по $[-\pi,\pi]$ в виде суммы двух интегралов от того же самого выражения (с модулем). А что дальше?

[Doctor]

Mikhail_K, пожалуй, впредь воздержусь от чтения Ваших комментариев. Не нужно рассказывать мне, что я понимаю или не понимаю, я сразу написал, что с такими интегралами не сталкивался, так что оправдываться не буду. Единственный вопрос, который я задал - верное ли решение? Да или нет, если нет - иду разбираться сам дальше. Меня интересует мнение о правильности решения, а не о моих способностях или о том, что считать правильным.

[ewert]

Doctor в сообщении #1190998 писал(а):

$ \frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^{\pi}2+\left | x \right |dx=\frac{1}{\pi }\left (-\int_{-\pi}^{0}(2+x)dx + \int_{0}^{\pi}(2+x)dx \right ) $

Это неверно.

[Xaositect]

Неверно, первая ошибка в раскрытии модуля в отрицательной области.

[Doctor]

ewert, Xaositect, что можно сказать о таком варианте? Сильно не пинайте
$\int_{-\pi}^{\pi}2+\left | x \right |dx = \int_{-\pi}^{\pi}2dx+\int_{-\pi}^{\pi}\left | x \right |dx = \left.\begin{matrix} \pi\\ -\pi \end{matrix}\right|2x+\left.\begin{matrix} \pi\\ -\pi \end{matrix}\right|\frac{x\left | x \right |}{2}$

[Mikhail_K]

Doctor в сообщении #1191018 писал(а):

что можно сказать о таком варианте?

Ну бессмысленны такие гадания.
Вы были правы в том, что нужно разбивать $[-\pi,\pi]$ на два отрезка.
Чему равен $|x|$ на первом из этих отрезков и чему на втором?

-- 09.02.2017, 11:13 --

Если же рассматривать Ваш второй вариант, то можете ли Вы объяснить, почему неопределённый интеграл от $|x|$ равен $\frac{x|x|}{2}+C$?

-- 09.02.2017, 11:16 --

Но даже во втором варианте решения я бы лучше заметил, что второй из интегралов - это интеграл от чётной функции по симметричному относительно нуля промежутку. Вместо того чтобы явно выписывать первообразную. Это какой-то корявый подход.

[SomePupil]

Doctor в сообщении #1190998 писал(а):

Доброго всем дня, раскладываю функцию в ряд Фурье

Эх, до каких вершин Вы дошли $-$ до сАмого Жана Батиста. Жозефа! А маленький, коварный минус все так и норовит Вам мешать заниматься высшими материями. Поглядите сюда внимательнее:

ewert в сообщении #1191014 писал(а):

$ \frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^{\pi}2+\left | x \right |dx=\frac{1}{\pi }\left (-\int_{-\pi}^{0}(2+x)dx + \int_{0}^{\pi}(2+x)dx \right ) $

И подумайте над вопросом

Mikhail_K в сообщении #1191000 писал(а):

И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок $[-\pi,\pi]$ именно на эти два отрезочка, именно точкой $0$, а не какой-нибудь другой точкой? Что в этой точке такого особенного?

[Doctor]

SomePupil в сообщении #1191024 писал(а):

Поглядите сюда внимательнее:

Мысли есть, да боюсь высказывать - опять будете тыкать пальцами: "Опять угадайка, ай, дурачок!".

SomePupil в сообщении #1191024 писал(а):

И подумайте над вопросом

Думал. Предположения высказал, больше их нет. Обычно в таких случаях те, кто хотят помочь, дают название раздела ВМ, в которой этот вопрос рассматривается или, в крайнем случае, формулируют вопрос, по которому можно потрясти Гугл.

[Mikhail_K]

Doctor в сообщении #1191039 писал(а):

Обычно в таких случаях те, кто хотят помочь, дают название раздела ВМ, в которой этот вопрос рассматривается или, в крайнем случае, формулируют вопрос, по которому можно потрясти Гугл.

Здесь не нужно знать раздел высшей математики.
Здесь нужно знать только две вещи:
1) Если отрезок разбит на несколько, то интеграл по большому отрезку равен сумме интегралов по маленьким (от того же самого выражения);
2) Как раскрывается модуль для положительных и для отрицательных значений под модулем.
В Гугле ничего искать не нужно, нужно помедитировать над этими двумя пунктами и всё получится. Это если первым способом идти (он самый естественный).

И да, Вы конечно можете игнорировать сообщения всех, кто хочет Вам помочь, но на данном форуме принят именно такой вид помощи. В данной теме Вам даны необходимые подсказки даже в большем количестве, чем требуется.
Перечитайте тему с начала.

-- 09.02.2017, 12:01 --

Doctor в сообщении #1191039 писал(а):

Мысли есть, да боюсь высказывать - опять будете тыкать пальцами: "Опять угадайка, ай, дурачок!".

Есть разница между угадайкой и обоснованными мыслями.
Очень жаль, что многие студенты эту разницу не улавливают.
И, кстати, дурачком Вас никто не называл. А если у Вас есть обоснованные мысли, не бойтесь их высказывать.

[bot]

Doctor в сообщении #1191010 писал(а):

Mikhail_K, пожалуй, впредь воздержусь от чтения Ваших комментариев. Не нужно рассказывать мне, что я понимаю или не понимаю

Doctor в сообщении #1191039 писал(а):

Обычно в таких случаях те, кто хотят помочь, дают название раздела ВМ, в которой этот вопрос рассматривается или, в крайнем случае, формулируют вопрос, по которому можно потрясти Гугл

Хм, с названием раздела ВМ затрудняюсь, боюсь что это проходят задолго до ВМ, ... некоторые мимо. А Гугл можно трясти вопросом: что такое модуль? Там и содержится ответ на вопрос, который задал Mikhail_K и который так задел Ваше достоинство.

SomePupil в сообщении #1191024 писал(а):

ewert в сообщении #1191014

писал(а):
$ \frac{1}{\pi }\int_{-\pi}^{\pi}2+\left | x \right |dx=\frac{1}{\pi }\left (-\int_{-\pi}^{0}(2+x)dx + \int_{0}^{\pi}(2+x)dx \right ) $

Ошибка цитирования. Это писал ТС, а ewert писал, что это неверно.

[Doctor]

Mikhail_K в сообщении #1191042 писал(а):

А если у Вас есть обоснованные мысли, не бойтесь их высказывать.

Скажем, такие:
Мысль 1: в интеграле есть модуль, а в пределах интегрирования есть отрицательные значения;
Мысль 2: если сумма интегралов на частях отрезка равна интегралу всего отрезка, то, возможно, стоит разбить диапазон интегрирования на несколько частей. На две, например, отделив отрицательные от положительных;
Озарение: так как $\left | x \right | = x$ и диапазон интегрирования симметричен относительно нуля, то можно считать, что мы ищем удвоенный определённый интеграл от $(2+x)$. Или, всё же, их сумму с первоначальными диапазонами.

[Mikhail_K]

Doctor в сообщении #1191079 писал(а):

так как $\left | x \right | = x$

Это для каких $x$ так?