Действие дифференциала $dx^i$

[_Y_]

Здравствуйте!

Не могли бы вы мне объяснить? Почему действие дифференциала $dx^i<\overline{v}>$ сопоставляет каждому вектору $v \in R$ его $i$-ую координату $v^i$?

Это просто такая договорённость, или как? Что за этим всем стоит?

[Metford]

_Y_ в сообщении #1190080 писал(а):

Почему действие дифференциала $dx^i<\overline{v}>$ сопоставляет каждому вектору $v \in R$ его $i$-ую координату $v^i$?

Это не дифференциал, а т.н. базисная линейная форма. Смысл такой, что Вы рассматриваете касательное пространство к многообразию в данной точке. Вы можете ввести в этом пространстве базис $\{e_k\}$. Координаты этих векторов преобразуются при переходе к другому базису с помощью прямой матрицы перехода - похожим образом ведут себя частные производные, поэтому этот базис обычно обозначают $\frac{\partial}{\partial x^k}$ или даже короче $\partial_k$. У каждого линейного пространства есть дуальное - из линейных функционалов, заданных на данном линейном пространстве. В нём можно ввести свой базис $\{e^k\}$, полагая по определению, что $e^k(e_i)=\delta^k_i$. А базисные формы преобразуются, как контравариантные векторы, поэтому их обозначают $dx^k$.

Теперь смотрите. Пусть $v=v^k\partial_k$, тогда

$$dx^i(v)=dx^i(v^k\partial_k)=v^k dx^i(\partial_k)=v^k\delta^i_k=v^i.$$

Вот так.

[kp9r4d]

Metford говорит правильно, только я не понял, почему это не дифференциал.
Возьмём функцию $x^i : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, действующую следующим образом $x^i (x^1,...,x^n) = x^i$ (NB: слева функция, справа число). Как будет выглядеть дифференциал этой функции?

[Metford]

kp9r4d, да, я нехорошо сказал. Мне нужно было подчеркнуть, что дифференциал понимается как отображение, а не в "примитивном" смысле, как его на младших курсах обычно понимают (ТС не сказал, на каком уровне нужен был ответ).
Спасибо, что поправили!

[_Y_]

Большое спасибо!

Да, я тоже после прочтения первого сообщения хотел спросить, почему это нельзя называть дифференциалом? Хотя, понятное дело, я не имел ввиду главную линейную часть приращения функции..

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB_(%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)

[Metford]

_Y_ в сообщении #1190099 писал(а):

Хотя, понятное дело, я не имел ввиду главную линейную часть приращения функции..

Мысли через Интернет тяжело читаются Не хотел ввести в заблуждение. К счастью, меня поправили.

[_Y_]

Metford в сообщении #1190100 писал(а):

Мысли через Интернет тяжело читаются Не хотел ввести в заблуждение. К счастью, меня поправили.

Все в порядке! Еще раз спасибо

Я только пока не до конца понял, почему:

Metford в сообщении #1190086 писал(а):

А базисные формы преобразуются, как контравариантные векторы, поэтому их обозначают $dx^k$.

Всё-таки, это в каком-то смысле договорённость и обозначение?

И зачем нужно было говорить про базис?

Metford в сообщении #1190086 писал(а):

$\partial_k$

[Metford]

_Y_ в сообщении #1190103 писал(а):

Всё-таки, это в каком-то смысле договорённость и обозначение?

Это конкретизирующее такое обозначение. Оно подчёркивает, что всё дело происходит в касательных пространствах. Насколько я понимаю, исторически это возникло для того, чтобы связать эту теорию с уже имевшейся теорией интегрирования. А потом уже это прошло в дифференциальную геометрию. Картан этим всем занимался. Правда, не буду с полной определённостью советовать читать его. Лично мне его книги не слишком легко давались. Написано-то хорошо, но сейчас это несколько иначе излагается.
В принципе, можно было бы пользоваться обозначениями $e_i$, $e^k$. Только нужно иметь в виду, что многообразие только локально гомеоморфно пространству $\mathbb{R}^n$, поэтому на всём многообразии в общем случае один базис не ввести. Это нужно учитывать.
Могу посоветовать книгу Н.В. Ефимова "Введение в теорию внешних форм".

_Y_ в сообщении #1190103 писал(а):

И зачем нужно было говорить про базис?

Ну как зачем? В дуальном пространстве можно выбрать базис, никак не связанный с базисом в касательном пространстве. Но тогда не получится тот фокус, с которого разговор начался.

[_Y_]

Metford в сообщении #1190111 писал(а):

Могу посоветовать книгу Н.В. Ефимова "Введение в теорию внешних форм".

Кстати, в этой книге, на стр. 32 сказано: "Координатные формы принято обозначать через $dx^j$"

Но за объяснение мотивировки, большое спасибо. Это именно то, о чём я спрашивал.

[Metford]

_Y_ в сообщении #1190119 писал(а):

Кстати, в этой книге, на стр. 32 сказано: "Координатные формы принято обозначать через $dx^j$"

Так я и говорю, что обозначение конкретизирующее, которым можно было бы не пользоваться, но так удобнее. При определённой привычке. Знаю людей, которым этим обозначения сильно мешают.

Рад был помочь.

[VanD]

В этом обозначении $dx^i$ понимается как дифференциал соответствующей координатной функции.

Касательный вектор -- это класс эквивалентности путей. Если рассматриваемое отображение пути из одного класса эквивалентности перегоняет в пути, снова лежащие в одном классе -- оно дифференцируемо. Так порождаемое отображение, работающее с этими классами, называется дифференциалом исходного отображения. Здесь $dx^i$ не являет собой неделимое обозначение, это обычный дифференциал функции, заданной в рассматриваемой координатной карте.

[_Y_]

Спасибо за комментарий! Но не могли бы Вы объяснить, что Вы понимаете под:

VanD в сообщении #1190562 писал(а):

Если рассматриваемое отображение пути из одного класса эквивалентности перегоняет в пути, снова лежащие в одном классе -- оно дифференцируемо.

что значит "перегоняет в пути"?

[VanD]

Ну был у Вас на многообразии $M$ путь, например, $\gamma\colon[-1; 1]\to M$, а ещё было отображение многообразий $f\colon M\to N$, тогда это отображение "перегоняет" $\gamma$ в путь $\tilde{\gamma}$ на $N$ по следующей схеме $\tilde{\gamma} = f\circ\gamma$.