Ещё функан

[Профессор Снэйп]

Пусть $H$ --- гильбертово пространство и $X \subseteq H$ --- его подмножество диаметра $\leqslant 1$, то есть

$$ \sup \{ \| x-y \| : x,y \in X \} \leqslant 1. $$

Доказать, что $X$ можно целиком разместить внутри некоторого замкнутого шара с радиусом $1/\sqrt{2}$.

[Профессор Снэйп]

Из другой темы, но про эту задачу.

zoo писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

То есть гильбертов базис в $H$ может иметь произвольную мощность.

буду думать, с наскока решения не вижу

На самом деле было верно замечено: задачу сначала нужно решить для конечных $X$, а потом по критерию полноты распространить решение на $H$. В случае же конечного $X$ можно смело считать, что пространство конечномерно.