Вот как раз со случая

лучше и начинать -- он прозрачнее, т.к подпространство линейно. Тогда тождество

возможно лишь при

и при ортогональности вектора

к соотв. подпространству, т.е. к пропорциональности

и

. Т.е. вектор

должен быть собственным (любым).
Ну а случай

несколько сложнее, но рассматривается по той же схеме. Теперь

, где

и множество всех игреков -- то же самое линейное подпространство (ортогональное дополнение к

). По прежним причинам вектор

должен быть каким-то собственным для сопряжённого оператора, но теперь вместо требования ортогональности

и

получается уравнение на собственное число. Т.е. вектор

сам по себе можно брать каким угодно, но от его выбора зависит, каким должно быть собственное число. Ну или наоборот: можно брать какое угодно собственное число, и тогда

должен будет принадлежать соотв. аффинной гиперплоскости (параллельной исходной). Вот в последней формулировке и результат, и доказательство одинаковы уже для любых

.