Ранг матрицы из квадратов

[svv]

Не совсем: например, при $k=1$ определитель
$\begin{vmatrix}0&1&2\\1&0&1\\2&1&0\end{vmatrix}=4$,
хотя при ранге $2$ должен быть нулевым. Обобщение такое:

$$\operatorname{rk}\begin{pmatrix} 0^k & 1^k & 2^k & \cdots & (n-1)^k \\ (-1)^k & 0^k & 1^k & \cdots & (n-2)^k \\ (-2)^k & (-1)^k & 0^k & \cdots & (n-3)^k \\ \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \vdots\\ (-n+1)^k & (-n+2)^k & (-n+3)^k & \cdots & 0^k \end{pmatrix}=k+1$$

Тогда каждая строка (и столбец) будут составлены из последовательных значений полинома $k$-й степени, что важно. Для четных $k$ (как в задаче) минусы можно убрать.

-- Пт май 08, 2015 21:13:19 --

patzer2097
Не буду уже удалять сообщение, OK?

-- Пт май 08, 2015 21:36:43 --

Кстати, если для каждого $k$ находить максимальный ненулевой угловой минор, получим $(k!)^{k+1}$ (последовательность A091868).

[Munin]

Да, точно, забыл минус поставить! Когда думал, имел его в виду, а когда запостил - забыл.

Спасибо!

[sergei1961]

Теория вроде говорит, что если к этой матрице применить ДПФ, то она диагонализируется. Это можно посчитать явно?

[Jim_Hawkins]

Моё Решение.

Для $n=1$. $A = (0), \ \operatorname{rank} A = 0$.

Для $n=2$.
$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \operatorname{rank} A = 2.$$

Для $n=3$.

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \operatorname{rank} A \geqslant 2,$$
так как минор в левом верхнем углу

$$\operatorname{\det}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}= -1 \neq 0.$$

Поскольку

$$ \operatorname{\det} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix} = (0+4+4)-(0+0+0)=8 \neq 0, $$

то $\operatorname{rank}A = 3$.

Для $n \geqslant 4$. $\operatorname{rank} A \geqslant 3$.

$$ \begin{aligned} \operatorname{rank} A = \operatorname{rank} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 & \dots & (n-2)^2 & (n-1)^2 \\ 1 & 0 & 1 & \dots & (n-3)^2 & (n-2)^2 \\ 4 & 1 & 0 & \dots & (n-4)^2 & (n-3)^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\ (n-2)^2 & (n-3)^2 & (n-4)^2 & \dots & 0 & 1 \\ (n-1)^2 & (n-2)^2 & (n-3)^2 & \dots & 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned} $$

Ранг матрицы $A$ не изменится, если вычесть из $i-\text{ой}$ строки предыдущую:

$$ \begin{aligned} a^\prime_{ij} & = (i-j)^2 - ((i-1)-j)^2 = (i-j - (i-1)+j)\cdot(i-j+(i-1)-j) = \\ & = 2 \cdot (i-j) -1 \quad \text{для} \ i = 2,\ldots, n \text{ и } j = 1,\dots,n. \end{aligned} $$


$$ \begin{aligned} \operatorname{rank} A = \operatorname{rank} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 & \dots & (n-2)^2 & (n-1)^2 \\ 1 & -1 & -3 & \dots & 5-2n & 3-2n \\ 3 & 1 & -1 & \dots & 7-2n & 5-2n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\ 2n-5 & 2n-7 & 2n-9 & \dots & -1 & -3 \\ 2n-3 & 2n-5 & 2n-7 & \dots & 1 & -1 \end{pmatrix}. \end{aligned} $$

Повторим этот процесс. Получим:

$$ \begin{aligned} a^{\prime\prime}_{ij} & = (2\cdot(i-j) - 1) - (2\cdot(i-1-j) - 1) = 2 \cdot (i-j-i+1+j) = 2 \\ & \text{для} \ i = 3,\ldots, n \text{ и } j = 1,\dots,n. \end{aligned} $$

То есть в матрице $A^{\prime\prime}$ все строки, начиная с третьей включительно, заполнены числом 2. Значит, $\operatorname{rank} A \leqslant 3$.
Но, как было замечено ранее, $\operatorname{rank} A \geqslant 3$. Следовательно, $\operatorname{rank} A = 3$.

Ответ: $\operatorname{rank} A = 0$ для $n=1$, $\operatorname{rank} A = 2$ для $n=2$, $\operatorname{rank} A = 3$ для $n \geqslant 3$.

На это решение меня натолкнула следующая мысль: каждый элемент матрицы суть квадрат некоторого числа $a$, но со школьных времён я помню такую формулу $\sum_{k=1}^a (2k-1) = a^2$. Я заметил, что разность $(a+1)^2 - a^2 = 2a+1$, а числа $2a+1$ образуют арифметическую прогрессию с разностью 2.