Треугольники равной площади

[Skeptic]

Спасибо, нашёл ошибку: не промахнулся на клаве.

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1188602 писал(а):

... заявляю, что существует меньшая.

Да там их целая семья. По старшинству:

$(5,21,22)(7,15,16)(10,11,17)$
$(3,34,35)(5,23,26)(7,14,15)$
$(4,28,31)(6,13,14)(7,12,16)$
$(4,17,18)(7,16,22)(8,9,14)$
$(4,15,16)(5,18,22)(6,10,11)$
$(3,19,20)(4,15,17)(5,11,12)$
$(2,11,12)\ (3,8,10)(4,5,6)$

Равнобедренные не рассматриваем, значит единица исключена. В последней тройке стало быть всего две прорехи: $7$ и $9$, но кто знает...

[kalin]

Первую задачу лучше бы так сформулировать:
Из пяти разных длин построить три неравных треугольника равной площади, причем один из них - равнобедренный. Длины, естественно, могут повторяться.
Сколько ни искал, оказался только один мой вариант, что привел в первом своем ответе:
(25,27,47)(21,25,31)(21,27,27)
Если кто найдет еще подобные варианты - буду рад.
Если задача имеет единственное решение, то она действительно достойна быть олимипиадной.

[Andrey A]

$(2,19,19)(7,7,6)(7,6,11)(3,13,14)$
Первые три подходят из четверки. Жаль что недостойна.

[kalin]

Andrey A

Мне очень понравился ваш вариант (2,19,19)(6,7,7)(6,7,11) в котором уже 2 равнобедренных треугольника. Других вариантов c двумя равнобедренными не нашел. Тут маленькая площадь - всего $6\sqrt{10}\approx 18.97...$
Может, есть решение и для трех равнобедренных тр-ов? Все сказанное мной сейчас относится к задаче 1) первого вашего писания.

[Andrey A]

kalin в сообщении #1189131 писал(а):

Может, есть решение и для трех равнобедренных тр-ов?

Может и есть. Но, кажется, это отдельная задача.

P.S. $(54,37,37)(36,42,42)(12,114,114)$ Из предыдущей приготовлено.

[kalin]

Значит, получается, что три равнобедренных можно обеспечить только шестью длинами. Хорошо, а решение единственное?
На мой взгляд, задача с равнобедренными вырисовывается красиво. Если бы удалось 37 и 36 сблизить!

[Andrey A]

Если бы удалось 37 и 36 сблизить, потом все учебники пришлось бы переписывать. Даже по домоводству.

kalin в сообщении #1189221 писал(а):

... единственное?

Не знаю. kalin, это отдельная задача. Частный случай - тройка прямоугольных треугольников. Уравнение $xy(x^2-y^2)=zt(z^2-t^2)$ вроде бы рассматривалось, спросите Гугл.

[kalin]

Но тут же 4 параметра, а не 5.

[Andrey A]

(Оффтоп)

Тут два треугольника для примера. Приставляя зеркало к разным катетам, получаем четверку равнобедренных. Запишите нужное Вам уравнение и попробуйте решить. Танцы на грани оффтоп.

[scwec]

Список известных решений для пифагоровых треугольников. $S$ - площадь треугольника, $a,b$ - катеты, $c$ - гипотенуза.
$S = 13123110, a = 5852, b = 4485, c = 7373$
$S = 13123110, a = 8580, b = 3059, c = 9109$
$S = 13123110, a = 1380, b = 19019, c = 19069$

$S = 2570042985510, a = 2798180, b = 1836939, c = 3347261$
$S = 2570042985510, a = 7275268, b = 706515, c = 7309493$
$S = 2570042985510, a = 749892, b = 6854435, c = 6895333$

$S = 2203385574390, a = 1082620, b = 4070469, c = 4211981$
$S = 2203385574390, a = 403332, b = 10925915, c = 10933357$
$S = 2203385574390, a = 376420, b = 11707059, c = 11713109$

$S = 8943387723270, a = 5132732, b = 3484845, c = 6203957$
$S = 8943387723270, a = 9922660, b = 1802619, c = 10085069$
$S = 8943387723270, a = 1411740, b = 12670021, c = 12748429$

$S = 826290896699730, a = 35683340, b = 46312419, c = 58464869$
$S = 826290896699730, a = 20368788, b = 81133045, c = 83650813$
$S = 826290896699730, a = 15254508, b = 108333995, c = 109402717$

[kalin]

Зато тут 9 длин

[Toucan]

kalin, замечание за оффтопик. Хотите обсуждать свою задачу - создайте отдельную тему.

[kalin]

Toucan

Здесь задача: Можно ли из пяти разных длин построить три неравных треугольника равной площади? Длины, естественно, могут повторяться.

Я ее и только ее рассматриваю. Только 5 длин и три разных, но равных по площади треугольника. Ни в одном разговоре не отошел в сторону. Отклоняются другие.

[Andrey A]

scwec, спасибо за информацию. Если есть ссылки о нахождении подобных пар (а не троек), буду признателен. Мне тут добавить нечего, кроме как выложить свое решение. Варианты приветствуются.

Если одно из одночетных $X+Y+Z+T=0$ отличается знаком от остальных, то длины сторон произвольного треугольника с положительной площадью $S>0$ выражаются тройкой $\left| \dfrac{X+Y}{2}\right|; \left| \dfrac{Y+Z}{2}\right|; \left| \dfrac{Z+X}{2}\right|, $ а $S=\dfrac{1}{4}\sqrt{-XYZT}$. Задача нахождения троек равной площади сводится к системе

$$\begin{cases} & X_1+Y_1+Z_1+T_1=0 \\ & X_2+Y_2+Z_2+T_2=0 \\ & X_3+Y_3+Z_3+T_3=0 \\ & X_1Y_1Z_1T_1=X_2Y_2Z_2T_2=X_3Y_3Z_3T_3 \end{cases}$$

Пусть ${\tiny\gcd \left(X_1,X_2,X_3 \right)=x;\ \gcd \left(Y_1,Y_2,Y_3 \right)=y;\ \gcd \left(Z_1,Z_2,Z_3 \right)=z;\ \gcd \left(T_1,T_2,T_3 \right)=t},$ и однозначно определены целые ненулевые $a_i,b_i,c_i,d_i$ такие, что $X_i=a_ix,\ Y_i=b_iy,\ Z_i=c_iz,\ T_i=d_it,$ причем $\gcd \left(a_1,a_2,a_3 \right)=\gcd \left(b_1,b_2,b_3 \right)=\gcd \left(c_1,c_2,c_3 \right)=\gcd \left(d_1,d_2,d_3 \right)=1.$ Тогда

$$\dfrac{X_1Y_1Z_1T_1}{X_2Y_2Z_2T_2}=1=\dfrac{a_1xb_1yc_1zd_1t}{a_2xb_2yc_2zd_2t}=\dfrac{a_1b_1c_1d_1}{a_2b_2c_2d_2};\ \dfrac{X_2Y_2Z_2T_2}{X_3Y_3Z_3T_3}=1=\dfrac{a_2xb_2yc_2zd_2t}{a_3xb_3yc_3zd_3t}=\dfrac{a_2b_2c_2d_2}{a_3b_3c_3d_3}$$

То есть $a_1b_1c_1d_1=a_2b_2c_2d_2=a_3b_3c_3d_3.$ Такие наборы значений легко генерируются как человеком так и машиной, будем брать их в качестве аргумента, а также до времени переменную $t$. Получаем линейную систему уравнений

$$\begin{cases} & a_1x+b_1y+c_1z=-d_1t \\ & a_2x+b_2y+c_2z=-d_2t \\ & a_3x+b_3y+c_3z=-d_3t \end{cases}$$

и рациональные решения $x=-t\dfrac{\bigl(\begin{smallmatrix} d_1 & b_1 &c_1 \\ d_2 & b_2 &c_2 \\ d_3 & b_3 &c_3 \end{smallmatrix}\bigr)}{\bigl(\begin{smallmatrix} a_1 & b_1 &c_1 \\ a_2 & b_2 &c_2 \\ a_3 & b_3 &c_3 \end{smallmatrix}\bigr)},\ y=-t\dfrac{\bigl(\begin{smallmatrix} a_1 & d_1 &c_1 \\ a_2 & d_2 &c_2 \\ a_3 & d_3 &c_3 \end{smallmatrix}\bigr)}{\bigl(\begin{smallmatrix} a_1 & b_1 &c_1 \\ a_2 & b_2 &c_2 \\ a_3 & b_3 &c_3 \end{smallmatrix}\bigr)},\ z=-t\dfrac{\bigl(\begin{smallmatrix} a_1 & b_1 &d_1 \\ a_2 & b_2 &d_2 \\ a_3 & b_3 &d_3 \end{smallmatrix}\bigr)}{\bigl(\begin{smallmatrix} a_1 & b_1 &c_1 \\ a_2 & b_2 &c_2 \\ a_3 & b_3 &c_3 \end{smallmatrix}\bigr)}.$ Делая подстановку $t=-\bigl(\begin{smallmatrix} a_1 & b_1 &c_1 \\ a_2 & b_2 &c_2 \\ a_3 & b_3 &c_3 \end{smallmatrix}\bigr)$, не теряя общности, получаем целые пропорциональные решения первоначальной системы:

$$X_1=a_1\begin{pmatrix} d_1 & b_1 &c_1 \\ d_2 & b_2 &c_2 \\ d_3 & b_3 &c_3 \end{pmatrix};\ Y_1=b_1\begin{pmatrix} a_1 & d_1 &c_1 \\ a_2 & d_2 &c_2 \\ a_3 & d_3 &c_3 \end{pmatrix};\ Z_1=c_1\begin{pmatrix} a_1 & b_1 &d_1 \\ a_2 & b_2 &d_2 \\ a_3 & b_3 &d_3 \end{pmatrix};\ T_1=-d_1\begin{pmatrix} a_1 & b_1 &c_1 \\ a_2 & b_2 &c_2 \\ a_3 & b_3 &c_3 \end{pmatrix}$$

$$X_2=a_2\begin{pmatrix} d_1 & b_1 &c_1 \\ d_2 & b_2 &c_2 \\ d_3 & b_3 &c_3 \end{pmatrix};\ Y_2=b_2\begin{pmatrix} a_1 & d_1 &c_1 \\ a_2 & d_2 &c_2 \\ a_3 & d_3 &c_3 \end{pmatrix};\ Z_2=c_2\begin{pmatrix} a_1 & b_1 &d_1 \\ a_2 & b_2 &d_2 \\ a_3 & b_3 &d_3 \end{pmatrix};\ T_2=-d_2\begin{pmatrix} a_1 & b_1 &c_1 \\ a_2 & b_2 &c_2 \\ a_3 & b_3 &c_3 \end{pmatrix}$$

$$X_3=a_3\begin{pmatrix} d_1 & b_1 &c_1 \\ d_2 & b_2 &c_2 \\ d_3 & b_3 &c_3 \end{pmatrix};\ Y_3=b_3\begin{pmatrix} a_1 & d_1 &c_1 \\ a_2 & d_2 &c_2 \\ a_3 & d_3 &c_3 \end{pmatrix};\ Z_3=c_3\begin{pmatrix} a_1 & b_1 &d_1 \\ a_2 & b_2 &d_2 \\ a_3 & b_3 &d_3 \end{pmatrix};\ T_3=-d_3\begin{pmatrix} a_1 & b_1 &c_1 \\ a_2 & b_2 &c_2 \\ a_3 & b_3 &c_3 \end{pmatrix},$$

где (еще раз) целые ненулевые аргументы $a_i,b_i,c_i,d_i$ удовлетворяют условиям

$$a_1b_1c_1d_1=a_2b_2c_2d_2=a_3b_3c_3d_3,\ \gcd \left(a_1,a_2,a_3 \right)=\gcd \left(b_1,b_2,b_3 \right)=\gcd \left(c_1,c_2,c_3 \right)=\gcd \left(d_1,d_2,d_3 \right)=1.$$

Генерируя решения на практике, приходится откидывать четверки с равным количеством плюсов/минусов, о чем было сказано в начале, и сокращать на Н.О.Д. во избежание непримитивных троек.

P.S. Если полученные четверки $X_i,Y_i,Z_i,T_i$ не одночетные, ничто не мешает умножить все элементы на $2.$