Треугольники равной площади

[Andrey A]

1. Можно ли из пяти разных длин построить три неравных треугольника равной площади? Длины, естественно, могут повторяться.
2. Если все девять длин попарно различны, найдется ли тройка меньшей площади в сравнении с данной: $(5,21,22);(7,15,16); (10,11,17)$?

Все длины целые, площади положительные.

[kalin]

1) Три треугольника со сторонами:
25, 27, 47
21, 25, 31
21, 27,27

[Andrey A]

kalin зачет!
Мой вариант: $(8,9,11);(8,9,13); (8,11,17).$

[kalin]

Я искал экзотический случай, когда один из треугольников равнобедренный.
Ваша схема более плодовитая. Нашел два разных варианта длин, но дающих одинаковую площадь:
1) (9,17,22),(9,17,16),(9,22,29); 2) (13,11,16),(13,11,18),(13,16,27)
Ну и несколько других вариантов с разными площадями в каждом:
(13,14,21),(13,14,17),(13,21,32)
(16,11,15),(16,11,23),(16,15,29)
(16,17,27),(16,17,19),(16,27,41)
(16,18,22),(16,18,26),(16,22,34)
(19,13,22),(19,13,24),(19,22,39)

[Andrey A]

kalin в сообщении #1188489 писал(а):

Ну и несколько других вариантов...

Остается вопрос о младшей тройке. Первый пункт сводится к частному случаю, что видно из Ваших примеров ++

[kalin]

Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша. А вообще-то решений бесконечно много. Я еще 12 вариантов нашел (по вашей модели), но не имеет смысла их давать. Никакой зависимости пока не увидел...
Да, и предпоследний мой вариант не примитивный: он есть удвоенный ваш вариант.

[Andrey A]

kalin в сообщении #1188559 писал(а):

А вообще-то решений бесконечно много.

Это правда.

kalin в сообщении #1188559 писал(а):

Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша.

Почему?

[grizzly]

kalin в сообщении #1188559 писал(а):

Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша.

Ещё интереснее минимизировать площадь. Хотя бы потому, что перебором это не так просто проверить

kalin в сообщении #1188559 писал(а):

А вообще-то решений бесконечно много.

Примитивных тоже? Это не выглядит противоестественным, но услышать Ваши аргументы было бы интересно.

[Andrey A]

grizzly в сообщении #1188574 писал(а):

Ещё интереснее минимизировать площадь.

Верное уточнение. Изначально речь и шла о тройках наименьшей площади.

kalin в сообщении #1188559 писал(а):

Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша.

Публично заявляю, что существует меньшая. Сразу не выставляю, а то не интересно.

(Оффтоп)

И мало ли кто-то захочет реабилитироваться.

[kalin]

Аргументы банальные. Примерно как: предположим, что постых чисел-близнецов бесконечно. Я тоже предположил, и никакими расчетами не обнаружил конца множества. Строго же доказать вряд ли смогу.

-- 30.01.2017, 15:59 --

Andrey A В условии ничего не говорилось о глобальном минимуме, а только спрашивалось о возможности-невозможности. Надо тогда было формулировать четче.

[Skeptic]

Andrey A в сообщении #1188435 писал(а):

kalin зачет!
Мой вариант: $(8,9,11);(8,9,13); (8,11,17).$

Может быть я ошибаюсь, но треугольники имеют разные площади: $425,3; 485,407$ и $691,954$, соответственно.

[wrest]

Skeptic в сообщении #1188634 писал(а):

Может быть я ошибаюсь,

Да, ошибаетесь :)

[grizzly]

Skeptic в сообщении #1188634 писал(а):

Может быть я ошибаюсь, но треугольники имеют разные площади: $425,3; 485,407$ и $691,954$, соответственно.

А то, что $11\cdot 11=121$ (площадь квадрата с максимальной стороной первого треугольника) меньше Вашего $425.3$, Вас не смущает?

[Andrey A]

kalin в сообщении #1188605 писал(а):

Andrey A В условии ничего не говорилось о глобальном минимуме, а только спрашивалось о возможности-невозможности. Надо тогда было формулировать четче.

Существование меньшего решения еще не свидетельствует о его чемпионстве, вопрос ставился именно так. Вместо "младшей" читайте "меньшей", но не "наименьшей".

Skeptic, смотрите "Формула Герона". Тут речь с самого начала об этом.

[kalin]

Доказательство того, что площади равные