Про энергию и импульс в СТО

[Ultramarine]

Это снова я со своими дурацкими вопросами!


Вот есть одинокая массивная частица. Пусть она покоится. Значит ее энергия $E=mc^2$, ее импульс $\vec{p}=0$. Здорово.

Но, ведь все инерциальные системы равноправны между собой! Значит мы смело можем перейти в другую систему отсчета, в которой частица уже не будет покоиться, а будет двигаться со скоростью $v<c$. А значит перейдя в другую систему отсчета мы разом изменили энергию частицы и импульс частицы:

$E=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
$\vec{p}=\dfrac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

В классике воспринимаешь энергию и импульс как... количество денег что ли. Чем больше у тебя денег, тем больше у тебя возможностей. И в классике: чем больше у тебя энергии, тем больше работы ты можешь совершить и т.д. А тут получается что свой баланс можно изменить одним мановением руки.

В связи с этим становится совсем не очевидно что, какая-либо реакция, например, столкновение двух частиц с рождением двух новых частиц $a + b \to c + d$ пройдет одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Ведь мы можем перейти в такую систему отсчета, что, например, скорость частицы $a$ окажется равной $v=0,999999 \dots \cdot c$ и ее энергия может превысить, пускай, в 2 раза суммарную энергию всей Вселенной!

Как же показать что несмотря на это, реакция пройдет одинаково во всех инерциальных системах?

Я могу показать только инвариантность $mc^2$. Вот:


Пусть скорость $\vec{u}$ — это скорость частицы в системе K, а скорость $\vec{u}'$ — это скорость частицы в системе K', причем система K' движется в системе K со скоростью $\vec{v}$. Тогда

$\vec{u} = \dfrac{\vec{u}' + \vec{v}}{1+\frac{u' \cdot v}{c^2}} = \dfrac{(\vec{u}' + \vec{v}) c^2}{c^2+u' \cdot v}$.

Пусть $\vec{u}'$ и $\vec{v} соноправлены. Тогда энергия частицы в системе K

$E=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=$
$=\dfrac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{(u' + v)^2 c^4}{(c^2 + u' v)^2 c^2}}} = \dfrac{mc^2 (c^2 + u' v)}{\sqrt{(c^2 + u' v)^2-(u' + v)^2 c^2}} = $
$\dfrac{mc^2 (c^2 + u' v)}{\sqrt{c^4 + 2 u' v c^2 + (u' v)^2 - (u' c)^2 - 2 u' v c^2 - (v c)^2}}=$
$\dfrac{mc^2 (c^2 + u' v)}{\sqrt{c^4 + (u' v)^2 - (u' c)^2 - (v c)^2}}=$
$=\dfrac{mc^2 (c^2 + u' v)}{\sqrt{c^2 (c^2 - v^2) + (u')^2 (v^2 - c^2)}}=$
$=\dfrac{mc^2 (c^2 + u' v)}{\sqrt{(c^2 - (u')^2)(c^2 - v^2)}}=$
$=\dfrac{mc^2 (1 + \frac{u' v}{c^2})}{\sqrt{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}}$

У импульса аналогично:

$p=\dfrac{mu (1 + \frac{u' v}{c^2})}{\sqrt{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}} = $
$=\dfrac{m \frac{(u' + v) c^2}{c^2+u' \cdot v} (\frac{c^2 + u' v}{c^2})}{\sqrt{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}} = $
$=\dfrac{m (u' + v)}{\sqrt{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}} = $

И наконец:

$E^2-(pc)^2 = \dfrac{(mc^2)^2 (1 + \frac{u' v}{c^2})^2 - (mc)^2 (u' + v)^2}{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}=$
$E^2-(pc)^2 = \dfrac{(mc^2)^2 ( (1 + \frac{u' v}{c^2})^2 - (\frac{u'}{c} + \frac{v}{c})^2 )}{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}=$
$E^2-(pc)^2 = \dfrac{(mc^2)^2 ( 1 + 2\frac{u' v}{c^2} + \frac{(u' v)^2}{c^4} - \frac{(u')^2}{c^2} - 2\frac{u' v}{c^2} - \frac{v^2}{c^2} )}{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}=$
$E^2-(pc)^2 = \dfrac{(mc^2)^2 ( 1 + \frac{(u' v)^2}{c^4} - \frac{(u')^2}{c^2} - \frac{v^2}{c^2} )}{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}=$
$E^2-(pc)^2 = \dfrac{(mc^2)^2 (1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}=(mc^2)^2$

... что и требовалось доказать.


Ну и еще один вопрос: что же такое энергия и импульс, если они себя так странно ведут?

[rustot]

Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):

В классике воспринимаешь энергию и импульс как... количество денег что ли. Чем больше у тебя денег, тем больше у тебя возможностей. И в классике: чем больше у тебя энергии, тем больше работы ты можешь совершить и т.д. А тут получается что свой баланс можно изменить одним мановением руки

В смысле "а тут"? В классике точно так же относительно одной исо кинетическая энергия ракеты нулевая а относительно другой огромная, а двигатели относительно одной исо увеличивают ее энергию а относительно другой уменьшают.

[DimaM]

Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):

В классике воспринимаешь энергию и импульс как... количество денег что ли. Чем больше у тебя денег, тем больше у тебя возможностей. И в классике: чем больше у тебя энергии, тем больше работы ты можешь совершить и т.д. А тут получается что свой баланс можно изменить одним мановением руки.

В классике энергия и импульс точно так же меняются при переходе в другую ИСО.

Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):

В связи с этим становится совсем не очевидно что, какая-либо реакция, например, столкновение двух частиц с рождением двух новых частиц $a + b \to c + d$ пройдет одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Ведь мы можем перейти в такую систему отсчета, что, например, скорость частицы $a$ окажется равной $v=0,999999 \dots \cdot c$ и ее энергия может превысить, пускай, в 2 раза суммарную энергию всей Вселенной!

Очевидно, что нужно рассматривать энергию в системе центра масс, то есть $\sqrt{E^2-p^2c^2}$, где $E$ и $p$ - суммарные энергия и импульс. Что-то мне это выражение напоминает...
В классике принципиально все точно так же.

[Ultramarine]

rustot в сообщении #1188580 писал(а):

В смысле "а тут"?

DimaM в сообщении #1188581 писал(а):

В классике принципиально все точно так же.

Ок, скажу так, в классике об этом я не задумывался.

[Walker_XXI]

Собственно - да, в классике энергия и импульс тоже зависят от системы отсчёта. Поэтому остальные "восторги с вычислениями" подробно смотреть не стал. Надо так понимать, что в классике недоумений не возникает. Предлагаю автору переформулировать вопрос ввиду вновь открывшихся обстоятельств.

Т.е. "показать что несмотря на это, реакция пройдет одинаково во всех инерциальных системах" и в случае малых скоростей (с преобразованиями Галилея будет попроще).

[Ultramarine]

Walker_XXI в сообщении #1188585 писал(а):

Предлагаю автору переформулировать вопрос ввиду вновь открывшихся обстоятельств.

Т.е. "показать что несмотря на это, реакция пройдет одинаково во всех инерциальных системах" и в случае малых скоростей (с преобразованиями Галилея будет попроще).

Да вроде ведь и так не плохо: как показать на примере реакции столкновения двух частиц с рождением двух новых частиц $a + b \to c + d$ инвариантность "результата реакции"?

[DimaM]

Ultramarine в сообщении #1188584 писал(а):

в классике об этом я не задумывался

Напрасно. Есть хороший "парадокс" на эту тему.
Тело съезжает с наклонной плоскости с высоты $h$ и набирает скорость $v=\sqrt{2gh}$, которую легко вычислить из сохранения энергии ($mgh$ в начале равна $mv^2/2$ в конце).
В СО, движущейся со скоростью $v$, вначале энергия $mgh+mv^2/$, а в конце нуль.

Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):

У импульса аналогично:

Скорость-то тоже нужно преобразованную подставить.

-- 30.01.2017, 19:12 --

Ultramarine в сообщении #1188587 писал(а):

Да вроде ведь и так не плохо: как показать на примере реакции столкновения двух частиц с рождением двух новых частиц $a + b \to c + d$ инвариантность "результата реакции"?

1. Найти, чему равна энергия в системе центра масс.
2. Показать, что эта величина инвариантна относительно ПЛ.
3. ??????
4. PROFIT!!!!!

[Ultramarine]

DimaM в сообщении #1188588 писал(а):

Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):

У импульса аналогично:

Скорость-то тоже нужно преобразованную подставить.

Точно!

А я уж тут решать начал что обманывают будто $mc^2$ инвариант. Сейчас исправлю.

-- 30.01.2017, 17:16 --

DimaM в сообщении #1188588 писал(а):

1. Найти, чему равна энергия в системе центра масс.

Э-э-э... Не то?

$E=\dfrac{mc^2 (1 + \frac{u' v}{c^2})}{\sqrt{(1 - \frac{(u')^2}{c^2})(1 - \frac{v^2}{c^2})}}$

DimaM в сообщении #1188588 писал(а):

2. Показать, что эта величина инвариантна относительно ПЛ.

Ну так она зависит от $v$.

[rustot]

Ultramarine в сообщении #1188584 писал(а):

Ок, скажу так, в классике об этом я не задумывался.

Ну то есть у вас были изначально неверные интуитивные представления "как о количестве денег" и сто не привнесла в это ничего нового.

$E' = \gamma(E- v p_x)$
$p_x' = \gamma(p_x - \frac{v}{c^2} E)$

Вот и подставьте сумму импульсов и сумму энергий двух частиц до и после взаимодействия в одной исо и преобразуйте хоть сразу суммы в другую исо, хоть сначала преобразуйте слагаемые а потом сложите - очевидно что результат будет одним и тем же

[DimaM]

Ultramarine в сообщении #1188590 писал(а):

Э-э-э... Не то?

Не то.
Вы ж про две частицы начали речь, вот пускай у них массы $m_1$ и $m_2$, скорости $v_1$ и $v_2$, для простоты сонаправленные. Чему равна энергия в системе центра масс?

[Ultramarine]

rustot в сообщении #1188593 писал(а):

Ultramarine в сообщении #1188584 писал(а):

Ок, скажу так, в классике об этом я не задумывался.

Ну то есть у вас были изначально неверные интуитивные представления "как о количестве денег" и сто не привнесла в это ничего нового.

$E' = \gamma(E- v p_x)$
$p_x' = \gamma(p_x - \frac{v}{c^2} E)$

Вот и подставьте сумму импульсов и сумму энергий двух частиц до и после взаимодействия в одной исо и преобразуйте хоть сразу суммы в другую исо, хоть сначала преобразуйте слагаемые а потом сложите - очевидно что результат будет одним и тем же

DimaM в сообщении #1188597 писал(а):

Вы ж про две частицы начали речь, вот пускай у них массы $m_1$ и $m_2$, скорости $v_1$ и $v_2$, для простоты сонаправленные. Чему равна энергия в системе центра масс?

Все, я впилил что такое "система центра масс". С вашего позволения я не буду больше писать формул, ибо в LaTeX это делать утомительно (в Аду полюбому такое наказание для грешников есть — набирать формулы в LaTeX-е ). Кажется я понял в каком ключе надо писать формулы.

Спасибо, rustot, DimaM.

[warlock66613]

(Оффтоп)

Ultramarine в сообщении #1188601 писал(а):

в Аду полюбому такое наказание для грешников есть — набирать формулы в LaTeX-е :-)

Только в специальном отделе для тех, кто попал в ад за жалобы, как тяжело набирать формулы в $\LaTeX$. (Для остальных бессмысленно: они просто не поняли бы, что это наказание.)

[Dragon27]

Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):

Ведь мы можем перейти в такую систему отсчета, что, например, скорость частицы $a$ окажется равной $v=0,999999 \dots \cdot c$ и ее энергия может превысить, пускай, в 2 раза суммарную энергию всей Вселенной!

А толку-то - всё остальные частицы всей Вселенной тоже увеличат свою кинетическую энергию.

Ultramarine в сообщении #1188587 писал(а):

Да вроде ведь и так не плохо: как показать на примере реакции столкновения двух частиц с рождением двух новых частиц $a + b \to c + d$ инвариантность "результата реакции"?

А как вы рассчитываете результат реакции?

Начните с чего-нибудь попроще, с каких-нибудь идеально упругих столкновений. У нас при столкновении сохраняются энергия и импульс - вот и рассчитывайте, что получится в разных системах отсчёта.

[Munin]

Ultramarine в сообщении #1188576 писал(а):

В классике воспринимаешь энергию и импульс как... количество денег что ли. Чем больше у тебя денег, тем больше у тебя возможностей. И в классике: чем больше у тебя энергии, тем больше работы ты можешь совершить и т.д.

Собственно, проблема у вас не с пониманием СТО, а с недостаточным пониманием классики (как и у многих).

В классике, энергия и импульс похожи на "количество денег" по той причине, что у вас всегда есть неподвижная Земля. Огромная и тяжёлая. Стукнувшись об неё (или об прикреплённый к ней предмет), вы можете "конвертировать" кинетическую энергию в другие виды.

Но если Земли нет, то кинетическая энергия перестаёт быть "деньгами". В небесной механике, в механике молекул, приходится работать именно в таких условиях, и надо набраться опыта и привычки к этому.