2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Треугольники равной площади
Сообщение29.01.2017, 13:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
1. Можно ли из пяти разных длин построить три неравных треугольника равной площади? Длины, естественно, могут повторяться.
2. Если все девять длин попарно различны, найдется ли тройка меньшей площади в сравнении с данной: $(5,21,22);(7,15,16); (10,11,17)$?

Все длины целые, площади положительные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение29.01.2017, 23:30 
Аватара пользователя


29/01/17

228
1) Три треугольника со сторонами:
25, 27, 47
21, 25, 31
21, 27,27

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 00:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
kalin зачет!
Мой вариант: $(8,9,11);(8,9,13); (8,11,17).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 08:34 
Аватара пользователя


29/01/17

228
Я искал экзотический случай, когда один из треугольников равнобедренный.
Ваша схема более плодовитая. Нашел два разных варианта длин, но дающих одинаковую площадь:
1) (9,17,22),(9,17,16),(9,22,29); 2) (13,11,16),(13,11,18),(13,16,27)
Ну и несколько других вариантов с разными площадями в каждом:
(13,14,21),(13,14,17),(13,21,32)
(16,11,15),(16,11,23),(16,15,29)
(16,17,27),(16,17,19),(16,27,41)
(16,18,22),(16,18,26),(16,22,34)
(19,13,22),(19,13,24),(19,22,39)

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
kalin в сообщении #1188489 писал(а):
Ну и несколько других вариантов...

Остается вопрос о младшей тройке. Первый пункт сводится к частному случаю, что видно из Ваших примеров ++

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 14:08 
Аватара пользователя


29/01/17

228
Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша. А вообще-то решений бесконечно много. Я еще 12 вариантов нашел (по вашей модели), но не имеет смысла их давать. Никакой зависимости пока не увидел...
Да, и предпоследний мой вариант не примитивный: он есть удвоенный ваш вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
kalin в сообщении #1188559 писал(а):
А вообще-то решений бесконечно много.

Это правда.
kalin в сообщении #1188559 писал(а):
Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша.

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
kalin в сообщении #1188559 писал(а):
Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша.
Ещё интереснее минимизировать площадь. Хотя бы потому, что перебором это не так просто проверить :D
kalin в сообщении #1188559 писал(а):
А вообще-то решений бесконечно много.
Примитивных тоже? Это не выглядит противоестественным, но услышать Ваши аргументы было бы интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
grizzly в сообщении #1188574 писал(а):
Ещё интереснее минимизировать площадь.

Верное уточнение. Изначально речь и шла о тройках наименьшей площади.
kalin в сообщении #1188559 писал(а):
Младшая тройка (минимальные длины сторон) - ваша.

Публично заявляю, что существует меньшая. Сразу не выставляю, а то не интересно.

(Оффтоп)

И мало ли кто-то захочет реабилитироваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 15:51 
Аватара пользователя


29/01/17

228
Аргументы банальные. Примерно как: предположим, что постых чисел-близнецов бесконечно. Я тоже предположил, и никакими расчетами не обнаружил конца множества. Строго же доказать вряд ли смогу.

-- 30.01.2017, 15:59 --

Andrey A В условии ничего не говорилось о глобальном минимуме, а только спрашивалось о возможности-невозможности. Надо тогда было формулировать четче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 17:18 


01/12/11

1047
Andrey A в сообщении #1188435 писал(а):
kalin зачет!
Мой вариант: $(8,9,11);(8,9,13); (8,11,17).$

Может быть я ошибаюсь, но треугольники имеют разные площади: $425,3; 485,407$ и $691,954$, соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 17:31 


05/09/16
11468
Skeptic в сообщении #1188634 писал(а):
Может быть я ошибаюсь,

Да, ошибаетесь :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Skeptic в сообщении #1188634 писал(а):
Может быть я ошибаюсь, но треугольники имеют разные площади: $425,3; 485,407$ и $691,954$, соответственно.
А то, что $11\cdot 11=121$ (площадь квадрата с максимальной стороной первого треугольника) меньше Вашего $425.3$, Вас не смущает? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
kalin в сообщении #1188605 писал(а):
Andrey A В условии ничего не говорилось о глобальном минимуме, а только спрашивалось о возможности-невозможности. Надо тогда было формулировать четче.

Существование меньшего решения еще не свидетельствует о его чемпионстве, вопрос ставился именно так. Вместо "младшей" читайте "меньшей", но не "наименьшей".

Skeptic, смотрите "Формула Герона". Тут речь с самого начала об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольники равной площади
Сообщение30.01.2017, 18:50 
Аватара пользователя


29/01/17

228
Доказательство того, что площади равные
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 54 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: 12d3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group